Resultados no coincidentes usando el Teorema Fundamental del Cálculo.

Primer póster aquí, gracias de antemano!

Para ir directamente a mi pregunta, se trata de resolver x en la siguiente ecuación:

∫ 0 X ( t 2 + 1 ) d t = X 2
Donde el enfoque "estándar" sería aplicar el teorema fundamental del cálculo de esta manera:
d d X ∫ 0 X ( t 2 + 1 ) d t = d d X X 2
X 2 + 1 = 2 X
Entonces resolver para x devolvería x=1

Sin embargo, ¿por qué obtienes un resultado diferente al calcular primero la integral definida con respecto a t, luego al poner los límites (x y 0) y obtener esto?

X 3 3 + X = X 2
Y claramente, aquí x debe ser igual a 0. Además, evaluar x=1 en la primera ecuación no es cierto mientras que evaluar x=0 sí lo es. ¿Quizás es incorrecto evaluar integrales con límites variables como ese? Entonces, ¿cómo es que las integrales dobles y triples usan regularmente límites variables de esa manera? ¿Hay algo fundamentalmente malo en tomar la derivada de ambos lados?

Una vez más, ¡cualquier ayuda y explicación es muy apreciada!

EDITAR: Gracias por las respuestas muy claras a todos, ahora tiene mucho sentido.

Supongamos que está resolviendo la ecuación X 2 = X + 1 . ¿Tomas las derivadas de ambos lados y las igualas entre sí? Básicamente es el mismo error.

Respuestas (2)

No hay motivo para pensar que las soluciones a F ′ ( X ) = gramo ′ ( X ) habrá soluciones a F ( X ) = gramo ( X ) (o viceversa). Por ejemplo, la ecuación X 2 + 1 = X no tiene soluciones, pero, después de diferenciar ambos lados, obtenemos 2 X = 1 , que claramente tiene solución.

Ejemplo aún más simple: X = 0 claramente tiene una solución, pero tomando derivadas obtenemos 1 = 0 , que claramente no lo hace.

Primero debes darte cuenta de lo que es la integral ∫ 0 X ( t 2 + 1 ) d t es. Lo primero a tener en cuenta es que t es una variable ficticia y que la integral es en esencia una función F ( X ) = ∫ 0 X ( t 2 + 1 ) d t = X 3 / 3 + X . Escribamos gramo ( X ) = X 2 como el RHS de su ecuación original.

Ahora reescribamos tu ecuación como F ( X ) = gramo ( X ) , y verifique lo que está haciendo con sus diferentes métodos.

Método 1: en realidad estás resolviendo F ′ ( X ) = X 2 + 1 = 2 X = gramo ′ ( X ) .

Método 2: en realidad estás resolviendo F ( X ) = gramo ( X ) .

¿Ver la diferencia?

Tenga en cuenta que F ( X ) = gramo ( X ) y F ′ ( X ) = gramo ′ ( X ) significan cosas totalmente diferentes y ninguna implica la otra.

Resultados no coincidentes usando el Teorema Fundamental del Cálculo.
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