El ruido blanco se caracteriza por la función de autocorrelación

$$\langle \eta(t) \eta(t') \rangle = D \delta(t-t'),$$ (Aquí estoy asumiendo que $\eta$es adimensional por lo que $[D] = [t]$). Esto significa que (1) el ruido no debe estar correlacionado consigo mismo en diferentes momentos, pero también que (2) la varianza de $\eta(t)$debe ser infinito . La condición (2) es el ingrediente esencial que falta aquí.

Antes de mostrar cómo incorporar (2) en un modelo discreto del ruido, primero motivemos por qué necesitamos$\eta(t)$tener varianza infinita. Esto es necesario para que la señal integrada, definida por

$$W(\tau) = \int_0^\tau{\rm d}t\;\eta(t),$$ ser distinto de cero. Efectivamente eso lo tenemos $$\langle W(\tau)^2\rangle = \int_0^\tau{\rm d}t\int_0^\tau{\rm d}t'\;\langle \eta(t) \eta(t') \rangle = D\tau,$$ es decir, la varianza de la señal integrada crece linealmente con el tiempo, con "constante de difusión" $D$, como una caminata aleatoria continua donde la posición del caminante en función del tiempo está dada por $W(\tau)$. Esto no es casualidad: la variable aleatoria $W(\tau)$describe el proceso de Wiener , que es fundamental para la definición de ruido blanco. En particular, si ${\rm d}W(t) = W(t+{\rm d}t)-W(t)$, entonces la variable $\eta(t)$en realidad se define como $${\rm d}W(t) = \eta(t){\rm d}t.$$

Tenga en cuenta que si la varianza de$\eta(t)$eran finitos,$W(\tau)$desaparecería de forma idéntica. Supongamos que en su lugar$\langle \eta(t) \eta(t') \rangle = f(t-t')$, dónde$f(0)$es finito y$f(t) = 0$por$t\neq 0$. Por lo tanto, se sigue que$\langle W(\tau)^2\rangle = \langle W(\tau)\rangle = 0$. Esto implica que la señal integrada$W(\tau)=0$con probabilidad uno. En otras palabras, las fluctuaciones instantáneas finitas de$\eta(t)$combinado con su tiempo de correlación cero, hace que el efecto integrado de la señal de ruido se cancele a cero durante cualquier tiempo finito.

Para definir la señal de ruido como el límite continuo de un proceso discreto, partimos de un paseo aleatorio discreto (imparcial). En cada incremento de tiempo$\delta t = t_{i+1} - t_i$el andador se desplaza la cantidad$\delta W_i = \eta_i \delta t$(cf.${\rm d}W(t) = \eta(t){\rm d}t$), dónde$\langle \delta W_i\rangle = 0$. Hacer que cada tamaño de paso sea proporcional a$\delta t$asegura que el tamaño del paso tiende a cero en el límite continuo$\delta t\to 0$, de modo que$W(t)$describe una función continua (en ninguna parte diferenciable). Además, cada uno de estos pasos debe ser estadísticamente independiente para recuperar el tiempo de correlación cero (ruido blanco) en el límite continuo. Suponemos también que el conjunto de pasos$\delta W_i$se distribuyen idénticamente. Ahora, la varianza de la posición del andador después de$N$pasos, correspondientes a un tiempo$\tau = N \delta t$, es dado por

$$\begin{align} \langle W(\tau)^2\rangle & = \left \langle \left ( \sum_{i=1}^N \delta W_i \right)^2 \right\rangle\\ & = (\delta t)^2 \left(\sum_{i=1}^N \langle \eta_i^2 \rangle + \sum_{i\neq j} \langle \eta_i\eta_j\rangle\right) \\ & = (\delta t)^2 \sum_{i=1}^N \langle \eta_i^2 \rangle, \end{align}$$ donde la tercera igualdad se sigue de la independencia estadística de los pasos: $\langle \eta_i\eta_j\rangle = 0$por $i\neq j$.

Ahora bien, para recuperar el escalado correcto$\langle W(\tau)^2\rangle = D \tau$, Debemos tener

$$\langle \eta_i^2 \rangle = D/\delta t.$$ La varianza de la variable de ruido blanco discretizada $\eta_i$por lo tanto, tiende a infinito en el límite del continuo, según se requiera. Dado que también requerimos que las estadísticas de ruido sean gaussianas de media cero (es decir, el único cumulante distinto de cero es la varianza), se deduce que la función de distribución de probabilidad única es $$P(\eta_i) \propto \exp \left ( -\frac{\eta_i^2 \delta t }{2D} \right),$$ hasta una constante de normalización no especificada. El resultado correcto para la función de partición sigue después de escribir la integral de trayectoria y tomar el límite continuo $\delta t\sum_i \to \int\mathrm{d} t$.