Cálculo de dV para aumentar la apoapsis en un punto arbitrario de una órbita

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Cálculo de dV para aumentar la apoapsis en un punto arbitrario de una órbita

Dewin

Esto es similar a otra publicación de StackExchange (hasta las menciones del Programa espacial Kerbal), pero con un enfoque diferente. La pregunta que estoy tratando de resolver es así:

Dados los vectores de estado orbital actuales para la posición ( $\overrightarrow{r}$ ) y velocidad ( $\overrightarrow{v}$ ) (y es seguro asumir que todos los elementos keplerianos de la órbita actual también se conocen), estoy tratando de determinar el $\Delta v$ necesario para alcanzar un objetivo de apoapsis $R_{a}$ . La ubicación en la órbita es arbitraria; podría no estar en apoapsis o periapsis; por lo tanto, el eje semi-mayor objetivo $a$ y excentricidad $e$ no se conocen y el uso de la ecuación de Vis-viva para el semieje mayor objetivo no es una opción en sí misma.

En mi caso particular, he agregado una restricción de que la dirección de $\overrightarrow{v}$ no cambiará, sólo su magnitud. En otras palabras, la quemadura resultante estará a lo largo del vector progrado/retrógrado, y esencialmente solo estoy tratando de determinar la magnitud de dicho vector.

Mi idea era usar una pequeña parte de las fórmulas para calcular programáticamente los elementos orbitales usando vectores de posición/velocidad a la inversa, es decir, aquellos que involucran excentricidad y semieje mayor, y luego resolver la ecuación resultante para la magnitud de $\overrightarrow{v}$ . Para hacer esto, reemplacé $\overrightarrow{v}$ con $\overrightarrow{d}m$ , dónde $d$ es el vector de velocidad de corriente normalizado y m su magnitud. La fórmula resultante, después de algunas simplificaciones, se ve así:

R_{a} = \frac{m + 1 + | (metro - gramo) \vec{r} - \vec{d} (\vec{r} \cdot \vec{d}) metro |}{2 gramo - metro}

$R_{a} = \frac{\mu + 1+|(m-g)\overrightarrow{r} - \overrightarrow{d}(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{d})m|}{2g-m}$ dónde

m

$m$ es la magnitud de

\vec{v}

$\overrightarrow{v}$ al cuadrado y

g = \frac{μ}{| \vec{r} |}

$g = \frac{\mu}{|\overrightarrow{r}|}$ . Esta definición de

g

$g$ es técnicamente incorrecto pero funciona para esta ecuación; más sobre eso en un minuto.

Esta ecuación me da una fórmula que determina correctamente mi apoapsis actual cuando agrego los otros parámetros. Sin embargo, no pude encontrar la manera de resolverlo para $m$ por mi cuenta... así que le pregunté a Wolfram Alpha , que me da lo siguiente:

metro = \frac{2 a gramo + gramo r - m - 1}{a - d r \cdot r + r}

$m = \frac{2ag+gr-\mu-1}{a-dr\cdot r + r}$ o

metro = \frac{2 a gramo - gramo r - m - 1}{a + d r \cdot r + r}

$m = \frac{2ag-gr-\mu-1}{a+dr\cdot r + r}$ (No pude encontrar una manera de convencerlo de que

d

$d$ y

r

$r$ eran vectores; por lo tanto, no se muestran como tales aquí.

r

$r$ es

R_{a}

$R_{a}$ ).

Sin embargo, volver a conectar los números en esta fórmula arrojó resultados incorrectos. ¡Pero!

Descubrí que si usaba la fórmula "correcta" para $g$ ( $g = \frac{\mu/}{|\overrightarrow{r}|^2}$ ), arrojaría valores completamente erróneos para el apoapsis dadas otras variables conocidas... pero conectar ese apoapsis 'incorrecto' a la otra fórmula terminó arrojando el valor correcto para $m$ para la apoapsis 'correcta'. Dicho esto, no tengo idea de cómo aprovechar ese hecho, y no sé por dónde continuar desde aquí después de hurgar en él durante varios días.

Entonces, algunas preguntas:

¿Que me estoy perdiendo aqui?
¿Hay algún otro método para resolver esto que no me esté perdiendo? Consideré algo relacionado con la conservación del momento angular, pero me encontré con el mismo problema donde las fórmulas que pude encontrar requieren conocer el valor del eje semi-mayor.

SF.

No estoy analizando sus matemáticas ahora (ocupado con otras cosas), pero ¿consideró que el apoapsis se mueve "hacia los lados" si la quemadura no está en el periapsis? Por ejemplo, estás escalando original

\vec{R_{a}} \cdot k

$\overrightarrow{R_a} \cdot k$ (k = algún factor de escala), en lugar de la nueva apoapsis en un punto completamente diferente

\vec{R}

$\overrightarrow R$ ?

Dewin

@SF

R_{a}

$R_{a}$ es un escalar, no un vector. Una fórmula para mover apoapsis a una ubicación determinada en coordenadas cartesianas es probablemente una pregunta mucho más complicada (y probablemente no tenga solución dadas las restricciones adicionales mencionadas).

Respuestas (1)

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No estoy analizando sus matemáticas ahora (ocupado con otras cosas), pero ¿consideró que el apoapsis se mueve "hacia los lados" si la quemadura no está en el periapsis? Por ejemplo, estás escalando original $\overrightarrow{R_a} \cdot k$ (k = algún factor de escala), en lugar de la nueva apoapsis en un punto completamente diferente $\overrightarrow R$ ?
@SF $R_{a}$ es un escalar, no un vector. Una fórmula para mover apoapsis a una ubicación determinada en coordenadas cartesianas es probablemente una pregunta mucho más complicada (y probablemente no tenga solución dadas las restricciones adicionales mencionadas).

marca adler · Answer 1

Tenemos la energía específica y el momento angular específico:

mi = - \frac{m}{2 a} = \frac{v^{2}}{2} - \frac{m}{r}

$\mathcal{E}=-{\mu\over 2a}={v^2\over 2}-{\mu\over r}$

{METRO}^{2} = m a (1 - {mi}^{2}) = r^{2} v^{2} {porque}^{2} γ

$\mathcal{M}^2=\mu a\left(1-e^2\right)=r^2 v^2\cos^2\gamma$

dónde $\mu$ es el $GM$ del cuerpo central, $v$ y $r$ son las magnitudes de los respectivos vectores y $\gamma$ es el ángulo de la trayectoria de vuelo.

Puedes obtener $\cos\gamma$ dado $\vec{r}$ y tu inicial $\vec{v_i}$ directamente de la definición de momento angular: un vector sin la flecha es su magnitud (no necesitamos preocuparnos por el signo de $\gamma$ aquí):

porque γ = \frac{| \vec{r} \times \vec{v_{i}} |}{r v_{i}}

$\cos\gamma={\left|\vec{r}\times\vec{v_i}\right|\over r\,v_i}$

Llamaremos al apoapsis final deseado $z$ , cual es:

z = a (1 + mi)

$z=a\left(1+e\right)$

La clave es que su posición y ángulo de trayectoria de vuelo no cambiarán antes y después de una maniobra instantánea en la dirección de la velocidad. Luego puede resolver la magnitud de la velocidad final como una función de la apoapsis final en el punto fijo. $r$ y $\gamma$ :

v_{F} = \sqrt{\frac{2 m z (z - r)}{r z^{2} - r^{3} {porque}^{2} γ}}

$v_f=\sqrt{2\mu z(z-r)\over r z^2-r^3\cos^2\gamma}$

La diferencia entre eso y la magnitud de la velocidad inicial, $v_f-v_i$ , es tuyo $\Delta V$ en la dirección de la velocidad.

Debes tener $z\ge r$ . Dado que las órbitas están cerradas, volverá a $r$ . Si $r$ no es menos que $z$ , después $z$ no es la apoapsis. Cuando $z=r$ y $\gamma\ne 0$ , tienes un caso degenerado donde $v_f=0$ , por lo que el cuerpo luego cae en línea recta hacia el centro del cuerpo, a una velocidad infinita en el cuerpo, y luego vuelve a subir a $r$ . Así que realmente es mejor que tengas $z>r$ . Si $z=r$ y $\gamma=0$ , entonces estás en apoapsis o periapsis. Si estás en apoapsis, entonces listo. Hacer nada. Si estás en periapsis, entonces hay un número infinito de soluciones. El mínimo $\Delta V$ sería bajar el apoapsis actual al periapsis actual, haciendo circular la órbita.

Tenga en cuenta que, en general, la maniobra también cambiará el periápside y el argumento del periápside. No hay seguridad de que el nuevo periápside quede por encima de la superficie o la atmósfera del cuerpo, así que tenga cuidado.

Re: las restricciones entre z y r: ¿Resolver para z<r simplemente logra lo mismo pero con un periapsis objetivo en lugar de un apoapsis objetivo? Y, según tengo entendido, la naturaleza de la quemadura está a lo largo del vector progrado (sin componentes normales o radiales) significa que un aumento en la velocidad no reducirá el periápside; por lo tanto, solo es una preocupación si z> apoápsis actual. Para el caso de periapsis z=r, solo debe haber una solución debido a la restricción de dirección (técnicamente dos si la magnitud es negativa)
¡Tres comentarios en uno! 1) No. De hecho para $r\cos\gamma<z<r$ , el resultado es imaginario. 2) Sí, el periapsis solo bajará si reduce la magnitud de la velocidad. 3) No para $z=r$ y $\gamma=0$ en el periápside de la órbita inicial, ese punto de la órbita se convierte en el nuevo apoápside , por lo que el ábside opuesto se puede cambiar a cualquier radio menor o igual a $z$ .
Tuve la oportunidad de probar esto en KSP y puedo confirmar que la fórmula funciona como está escrita, pero: 1) Resulta que funciona para ajustar el periápside si z>r: no hay un componente imaginario porque ambas mitades de la fracción será negativo. (Aunque no puedo probar esto para todos los casos; el valor absoluto podría funcionar). $\gamma = 1$ , no 0, en apoapsis/periapsis, $\gamma = 0$ sólo es cierto en la trayectoria radial . 3) veo; porque una vez que z alcanza el periapsis actual hay un número infinito de magnitudes donde ese punto va por debajo de lo que ahora es apoapsis.
No, $\gamma=0$ en periapsis y apoapsis. debes estar confuso $\gamma$ con $\cos\gamma$ , donde este último es de hecho $1$ en periapsis y apoapsis.
quieres decir si $z<r$ . Es fácil encontrar casos donde el resultado es imaginario. Dije exactamente cómo. Para esos casos, tomar el valor absoluto da como resultado que ni la apoapsis ni la periapsis se conviertan en $z$ .
Tienes razón en todos los aspectos: estaba confundiendo los términos.
No estaba en lo cierto en el punto del periapsis. De hecho, esa fórmula funciona para apuntar al periapsis. Pensé que la fórmula no funcionaba en general porque no apreciaba el hecho de que el ángulo de la trayectoria de vuelo realmente impide lograr ciertos periapsis. Una órbita con un periapsis $z$ solo es accesible si $z<r\cos^2\gamma$ . Tenga en cuenta el cuadrado. No es suficiente que el resultado sea real, lo cual está asegurado por $z<r\cos\gamma$ .

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