Matemáticas de la carta Delta-V

Esta es una gran pregunta, pero ciertamente podemos reducirla. Necesita varios niveles de conocimientos necesarios. Lo desglosaré así:

1. Relevancia de Delta v para el presupuesto propulsor
2. Conversión entre el potencial gravitacional y su correspondiente velocidad
3. La física básica de las transferencias de Hohmann
4. Factores no ideales que van de la superficie a la órbita

No todos estos son completamente necesarios, por lo que otras personas tomarán una ruta diferente para explicarlo. Esta secuencia de puntos solo refleja mi propia intuición.

presupuesto propulsor

La idea de un mapa Delta-v sería inútil si no fuera aditivo. Piénsalo. Ese es todo el punto de un mapa. Si no puedo agregar segmentos para calcular la distancia total, entonces no es un "mapa". Pero hay una crítica interesante de este punto: que la "distancia" en este mapa no se escala linealmente con el combustible necesario.

Tendemos a pensar en el combustible como proporcional a la distancia recorrida. Pero esto es realmente incorrecto. A medida que su tanque de gasolina está lleno, presenta más fricción con la carretera, por lo que su automóvil es más eficiente con un tanque de gasolina casi vacío. Tú y yo descuidamos esto porque nuestro presupuesto energético es pequeño comparado con el peso del auto en gasolina. En cohetería, importa al extremo. PERO, el cálculo del delta-v sigue siendo lineal. De esa manera, es una fuerte analogía matemática con la distancia recorrida en automóvil.

Ecuación del cohete:

$$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_0} {m_1}$$

En los mapas delta-v, estás contando$\Delta v$, y se suman fielmente de forma lineal.

Potencial gravitacional

De la física debe estar familiarizado con el concepto de "potencial" como$GM/r$. Este tiene unidades de$m^2/s^2$. De esta forma, puede aplicar el equilibrio energético. Si piensa en la conservación de energía manifestada en una ecuación, divida esa ecuación por la masa de su masa de prueba. Este es entonces el balance de energía gobernante en un marco de referencia estacionario.

Si tuviéramos un marco de referencia perfecto, entonces aplicaríamos todas las ecuaciones de balance de energía con el potencial gravitacional ingenuo anterior. En otras palabras, esa cantidad sería aditiva. Pero no es porque nos importe mucho más el marco de referencia del cohete que el de la Tierra o el del sol.

En el marco del cohete, las unidades de$m/s$tener mucho más sentido. Considere la situación:

Un cohete se encuentra en reposo relativo a la Tierra en la atmósfera superior. Dispara sus cohetes hacia el centro de la Tierra, la quema termina rápidamente e imparte el impulso suficiente para salir del pozo de gravedad de la Tierra.

Para este caso, el problema se responde con relativa facilidad.

balance de energía:

$$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{GM_E m}{R_E+(200 km)}$$

dividir por m.

$$\frac{1}{2} v^2 = \frac{GM_E }{R_E+(200 km)}$$

Aquí está el cálculo real

$$\Delta v = \sqrt{\frac{2 GM_E}{R_E+(200 km)}} = 10,925 \frac{m}{s}$$

Ese es un cálculo de velocidad de escape , y es un ejemplo muy simple de un segmento delta v.

Transferencias Hohmann

En la vida real, por supuesto, debemos tomar la ruta más eficiente posible. Se parece a esto:

1. Empiezas en una órbita circular.
2. Te quemas para entrar en una órbita de transferencia elíptica
3. Una vez que alcanzas la órbita deseada, vuelves a quemar para que tu camino sea circular.

Nunca tiene sentido "detenerse en el camino", y hacerlo siempre le costará más combustible. Eso puede parecerle un poco confuso considerando el diagrama, con muchos puntos de parada. Pero esas son básicamente órbitas de transferencia, como en el diagrama anterior, y luego se mueven de una escala a otra.

Dado que una transferencia de Hohlmann tiene dos quemaduras, tiene expresiones para Delta v. Aquí están con notación consistente con la imagen de arriba.

$$\Delta v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \left( \sqrt{\frac{2 R'}{R+R'}} - 1 \right),$$

$$\Delta v' = \sqrt{\frac{GM}{R'}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 R}{R+R'}}\,\! \right) ,$$

Estos representan una gran fracción de los números que ves en la imagen. Estos se suman para obtener el último requisito en su cohetería, por lo que tiene sentido ponerlos en un "mapa". Para aumentar la órbita de LEO a GEO, por ejemplo, podría tener 3 puntos y dos segmentos, donde el primer punto es LEO, el segundo es la órbita de transferencia y el tercero es GEO. Creo que no pusieron esto en el mapa (aunque podrían haberlo hecho) porque a nadie le importa demasiado la órbita de transferencia de LEO a GEO.

Factores no ideales

Pasar de la superficie de la Tierra a la órbita terrestre baja incluye otros factores:

• arrastre de gravedad
• resistencia del aire
• algún aumento mínimo adicional en la elevación para evitar el deterioro rápido de la órbita

Esto explica por qué ir a LEO es de unos 10 km/s, en lugar de la velocidad literal de LEO, que es más como 7,9 km/s. El arrastre de gravedad y el aumento de elevación contribuyen cada uno en el orden de 1 km/s, por lo que la respuesta final no es sorprendente. No todos los cuerpos tendrán estos mismos factores. Este es solo un ejemplo de consideraciones especiales para ese mapa.

También me doy cuenta de que esta respuesta no es exhaustiva. Explica tal vez la mitad del gráfico.

He estado procesando algunos números y, con la respuesta de @AlanSE, creo que estoy en el camino correcto. Tomaré el ejemplo de un cálculo de mapa Delta-V para el lanzamiento de un cohete a LEO, seguido de una transferencia Hohmann a la luna. Corrígeme si me equivoco:

Tenemos esta ecuación para el delta-V requerido para despegar y alcanzar una altitud de 200 km:

$$\begin{align} \Delta v_{0} & = \sqrt{\frac{\mu}{R}} \\ & = \sqrt{\frac{6.673\times 10^{-11} * 5.97219 \times 10^{24}}{6371000}} \\ & = 7909.034~\text{m}/\text{s} \end{align}$$
$$\begin{align} v & = \sqrt{2 * Gh} \\ & = \sqrt{ 2 * 9.8 * 200000 } \\ & = 1979.899~\text{m}/\text{s} \end{align}$$
$$\text{Where } \mu = GR_{earth}$$

Así que tenemos ~9888,9 m/s Δv para alcanzar los 200 km sobre el suelo.

Traslado de Hohmann a la Luna

$$\begin{align} r_{1} & = 6571000~\text{m}~\text{(Earth radius plus 200km)} \\ r_{2} & = 362600000~\text{m}~\text{(Moon average position at perigee)} \\ \end{align}$$
$$\begin{align} \mu_{earth} & = 3.98524 \times 10^{14}~\text{m}^3/\text{s}^2 \\ \mu_{moon} & = 4.903120210000 \times 10^{12}~\text{m}^3/\text{s}^2 \end{align}$$
$$\begin{align} \Delta v_{1} & = \sqrt{\frac{\mu}{r_{1}}} * \left(\sqrt{ \frac{2*r_{2}}{r_{1}+r_{2}} } - 1\right) \\ & = 3127.331~\text{m}/\text{s} \end{align}$$
$$\begin{align} \Delta v_{2} & = \sqrt{\frac{\mu}{r_{2}}} * \left(1 - \sqrt{ \frac{2*r_{1}}{r_{1}+r_{2}} }\right) \\ & = 94.345~\text{m/s} \end{align}$$

La mayoría de estos mapas delta V se basan en órbitas de Hohmann y cónicas parcheadas.

Usaré el ejemplo de una tierra a Marte Hohmann:

La Tierra se mueve a 30 km/s, la órbita de transferencia en el perihelio se mueve a 33 km/s, por lo que 3 km/s para igualar las velocidades.

La transferencia en el afelio es de 21,5 km/s y Marte es de 24 km/s. Así que 2,5 km/s para igualar las velocidades.

Entonces, ¿de dónde vienen el 33, 30, 21,5 y 24?

La ecuación de vis viva .

$V=\sqrt{\mu_{sun}(2/r - 1/a)}$

$\mu_{sun}$= constante gravitacional * masa del sol

a = semieje mayor de la elipse

r = distancia al sol

En el caso de una órbita circular, el radio de la órbita circular es el mismo que el semieje mayor, por lo que r = a. Sustituyendo r por a reduce la ecuación vis viva a:

$V=\sqrt{\mu_{sun}/r}$

La velocidad de una órbita circular.

Para la órbita terrestre r = ~150 000 000 kilómetros. Para la órbita de Marte r = ~225 000 000 kilómetros

Para la órbita de transferencia a = (150 000 000 + 225 000 000)/2 kilómetros.

En el perihelio de la órbita de transferencia r = 150 000 000 En el afelio de la órbita de transferencia r = 225 000 000

Conectar esos números en el vis viva debería darte números en el vecindario de 33 km/s, 30 km/s, 21,5 km/s y 24 km/s.

He redondeado mucho por simplicidad y también las órbitas de la Tierra y Marte no son perfectamente circulares y coplanares. El modelo coplanar circular no es exacto, pero puede darte números aproximados.

Una vez dentro de la esfera de influencia de un planeta, los caminos ya no están bien modelados como elipses sobre el sol sino como hipérbolas sobre un planeta.

La velocidad de una hipérbola:

$V=\sqrt{V_{inf}^2+V_{esc}^2}$

¿No te recuerda eso al teorema de Pitágoras? Uso este dispositivo de memoria para recordar la velocidad de una hipérbola:

Qué$V_{inf}$? En el caso de salida de tierra es de 3 km/s. (¿Recuerda la velocidad del perihelio de la transferencia de 33 km/s y la de la Tierra de 30 km/s?)

Qué$V_{esc}$? La velocidad de escape en la vecindad de la tierra es

$V_{esc} = \sqrt{2\mu_{earth}/r}$

Una forma de pensar en una órbita de escape parabólica es como una elipse con un semieje mayor infinito. En cuyo caso 1/a sería cero. Entonces, la ecuación de vis viva se reduciría a la ecuación de Vesc anterior.

$\mu_{earth}$= constante gravitacional * masa de la tierra.

Puede notar que la velocidad de escape es la velocidad circular multiplicada por el cuadrado de dos.

Para nuestro ejemplo, hagamos que r esté a 300 km sobre la superficie terrestre. r = 6678 km.

Reemplazando ese r en la ecuación para la velocidad de escape anterior, deberías obtener alrededor de 10,9 km/s.

Entonces, la hipérbola para Trans Mars Insertion (TMI) es$\sqrt{10.9^2+3^2}$que llega a 11,3 km/s.

Al establecer r = 6678 km, una órbita terrestre circular baja tiene una velocidad de 7,7 km/s.

11,3 - 7,7 = 3,6. Así que 3,6 km/s para TMI.

Al llegar a Marte, usaría un proceso similar. Pero$\mu_{Mars}$sería la constante gravitatoria por la masa de Mrs. Vinf sería de 2,5 km/s.

He hecho una hoja de cálculo de Hohmann que usa las ecuaciones que he dado. Puede darle Vs delta para varios escenarios. Es interesante cambiar la apoapsis y el periapsis de las órbitas de estacionamiento alrededor de un planeta.

Usé esta misma hoja de cálculo para calcular la mayoría de los números en mi propio mapa delta V.

Usando Google o Wikipedia es fácil encontrar radios planetarios, radios orbitales y masas para varios cuerpos.

Si recuerda la ecuación de vis viva, así como el dispositivo de memoria de Pitágoras para las órbitas hiperbólicas, no es difícil parchear las cónicas.