Estaba trabajando en un ejemplo en "Elementos de diseño de naves espaciales" de Charles Brown, pero no puedo entender cómo se calculó el tiempo de vuelo. Aquí está el problema Ejemplo 6.5 . Obtuve la respuesta correcta al calcular a, rP y e, pero después de eso no he tenido éxito. ¿Alguien podría ayudar?
Cómo calcular el tiempo de vuelo
Es fácil si conoces el parámetro gravitacional , el semieje mayor , la excentricidad , la anomalía verdadera inicial , y la verdadera anomalía final (o de manera equivalente, el cambio en la anomalía verdadera ).
Paso 1: Calcule las anomalías excéntricas iniciales y finales a partir de la excentricidad y las anomalías verdaderas iniciales y finales mediante
Cómo diseñar una órbita de transferencia
Esto es considerablemente más desafiante. Aquí el objetivo es encontrar la órbita de transferencia dada la posición inicial y final del objeto. Este es el problema de Lambert. Las ecuaciones subyacentes son trascendentales; no hay una buena solución de forma cerrada. En su lugar, debe hacer una conjetura y luego refinar iterativamente la conjetura. Hay varias formas de resolver iterativamente el problema de Lambert.
editar: hay más sobre las matemáticas para las órbitas hiperbólicas en la otra respuesta de @DavidHammon .
Agregaré a la respuesta clara de @DavidHammon al incluir los equivalentes parabólicos e hiperbólicos solo para tener todo en un solo lugar. Transcribí de esta práctica tabla y agregué formas alternativas para y de Wikipedia. Hice algunas comprobaciones puntuales con integración numérica solo para asegurarme de que los resultados coincidieran.
Elipse, Círculo :
hipérbola ( :
parábola ( :
Para obtener el eje semi-mayor o para conseguir , use lo siguiente (no se preocupe de que es negativo para la hipérbola):
Elipse, hipérbola:
Elipse:
Circulo:
Parábola:
Una consulta rápida con y :
e theta a v_peri E/D/F M t
1.5 90.000000 -2.0 1.581139 55.14281 40.94513 2.021271
1.0 90.000000 n/a 1.414214 57.29578 76.39437 1.885618
0.5 90.000000 2.0 1.224745 60.00000 35.19020 1.737177
0.0 90.000000 1.0 1.000000 90.00000 90.00000 1.570796
Si quieres probarlo en Python:
def deriv(X, t):
x, v = X.reshape(2, -1)
acc = -mu * x * ((x**2).sum())**-1.5
return np.hstack((v, acc))
def get_D(theta, e):
if e == 1.0:
D = np.tan(0.5*theta)
else:
D = np.nan
return D
def get_E(theta, e):
if e < 1.0:
term = np.sqrt((1.-e)/(1.+e)) * np.tan(0.5*theta)
E = 2.*np.arctan(term)
else:
E = np.nan
return E
def get_E_alt(theta, e):
if e < 1.0:
term = (e + np.cos(theta)) / (1. + e*np.cos(theta))
E = np.arccos(term)
else:
E = np.nan
return E
def get_F(theta, e):
if e > 1.0:
term = np.sqrt((e-1.)/(e+1.)) * np.tan(0.5*theta)
F = 2.*np.arctanh(term)
else:
F = np.nan
return F
def get_F_alt(theta, e):
if e > 1.0:
term = (e + np.cos(theta)) / (1. + e*np.cos(theta))
F = np.arccosh(term)
else:
F = np.nan
return F
def get_M_from_E(E, e):
if e < 1.0:
M = E - e*np.sin(E)
else:
M = np.nan
return M
def get_M_from_F(F, e):
if e > 1.0:
M = e*np.sinh(F) - F
else:
M = np.nan
return M
def get_M_from_D(D, e):
if e == 1.0:
M = D + D**3/3.
else:
M = np.nan
return M
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint
# http://www.bogan.ca/orbits/kepler/orbteqtn.html
quarterpi, halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in [0.25, 0.5, 1, 2]]
rads, degs = pi/180, 180/pi
mu = 1.0
th0, th1 = 0.0, halfpi
print "th0, th1 (degs): ", degs*th0, degs*th1
eccs = [1.5, 1.0, 0.5, 0.0]
for e in eccs:
print "e: ", e
rp = 1.0 # periapsis
if e < 1.0:
print " is ellipse!"
ra = rp * (1+e)/(1-e)
print "rp, ra: ", rp, ra
a0 = 0.5*(rp + ra)
v0 = np.sqrt(mu * (2./rp - 1./a0))
print "a0, v0: ", a0, v0
E0, E1 = [get_E(th, e) for th in [th0, th1]]
M0, M1 = [get_M_from_E(E, e) for E in [E0, E1 ]]
print "E0, E1 (degs): ", degs*E0, degs*E1
print "M0, M1 (degs): ", degs*M0, degs*M1
print "E0, E1: ", E0, E1
print "M0, M1: ", M0, M1
dt = np.sqrt(a0**3/mu) * (M1-M0)
print "dt (sec): ", dt
elif e > 1.0:
print " is hyperbola!"
ra = rp * (1+e)/(1-e)
print "rp, ra: ", rp, ra
a0 = 0.5*(rp + ra)
v0 = np.sqrt(mu * (2./rp - 1./a0))
print "a0, v0: ", a0, v0
F0, F1 = [get_F(th, e) for th in [th0, th1]]
M0, M1 = [get_M_from_F(F, e) for F in [F0, F1 ]]
print "F0, F1 (degs): ", degs*F0, degs*F1
print "M0, M1 (degs): ", degs*M0, degs*M1
print "F0, F1: ", F0, F1
print "M0, M1: ", M0, M1
dt = np.sqrt((-a0)**3/mu) * (M1-M0)
print "dt (sec): ", dt
elif e == 1.0:
print " is parabola!"
print "rp: ", rp
v0 = np.sqrt(mu * (2./rp))
print "v0: ", v0
D0, D1 = [get_D(th, e) for th in [th0, th1]]
M0, M1 = [get_M_from_D(D, e) for D in [D0, D1 ]]
print "D0, D1 (degs): ", degs*D0, degs*D1
print "M0, M1 (degs): ", degs*M0, degs*M1
print "D0, D1: ", D0, D1
print "M0, M1: ", M0, M1
q = rp
dt = np.sqrt(2.*q**3/mu) * (M1-M0)
print "dt (sec): ", dt
time = np.array([0, dt])
X0 = np.array([rp, 0, 0, v0])
answer, info = ODEint(deriv, X0, time, atol=1E-13, rtol=1E-13, full_output=True)
x, y, vx, vy = answer.T
theta = np.arctan2(y, x)
print degs*theta[0], degs*theta[-1], " should be ", degs*th0, degs*th1
Pablo
usuario10509
david hamen