Calcular la ecuación de dos tangentes dada la ecuación del círculo y el punto de intersección

Cualquier línea recta que pase por$(10,-5)$es de la forma

$y-(-5)=m(x-10)$, o,$mx -y -5-10m=0$dónde$m$es la pendiente de la recta.

Si la recta es tangente a la circunferencia$x^2+y^2=2^2$entonces la distancia perpendicular desde el centro$(0,0)$del círculo a la línea es igual al radio del círculo. Por lo tanto, tenemos

$|\frac{-5-10m}{\sqrt{1^2+{-m}^2}}|=2$.

Resolviendo esto obtenemos dos valores de$m$. Sustituye esos en la ecuación de la línea recta y tienes tus dos tangentes dibujadas desde el punto$(10,-5)$.

Trabajando en coordenadas homogéneas, si tenemos el punto$\mathbf p$y matriz del circulo$C$, entonces la cónica degenerada$\mathbf p_\times^TC^{\small\triangle}\mathbf p_\times$consiste en las tangentes a la circunferencia que pasan por$\mathbf p$. En esta expresión,$C^{\small\triangle}$es el conjugado de$C$y$\mathbf p_\times$es la “matriz de productos cruzados” de$\mathbf p$.

En este problema,$\mathbf p=(10,-5,1)^T$y$C=\operatorname{diag}(1,1,-4)$, entonces

$$\mathbf p_\times=\left[\begin{array}{r}0&-1&-5\\1&0&-1\\5&1&0\end{array}\right]$$ y $$A=\mathbf p_\times^TC^{\small\triangle}\mathbf p_\times=\left[\begin{array}{r}21&50&40 \\ 50&96&-20 \\ 40&-20&-500 \end{array}\right].$$ Esta matriz es singular, por lo que de hecho representa una cónica degenerada, y su vector nulo es $(10,-5,1)$, el punto desde el que estamos dibujando las tangentes, por lo que se verifica hasta ahora.

Esta matriz corresponde a la ecuación cartesiana

$$21x^2+100xy+96y^2+80x-40y-500=0,$$ que es una ecuación de dos rectas que se cruzan, pero probablemente quieras las ecuaciones individuales. Puede intentar factorizar la ecuación, pero hay una forma mecánica de "dividir" la matriz degenerada. Como representa un par de líneas, es de rango 2 y tiene la forma $\mathbf g\mathbf h^T+\mathbf h\mathbf g^T$. Procedemos encontrando un vector $\mathbf q$y escalar $\alpha$tal que $A+\alpha\mathbf q_\times$es un múltiplo de la matriz de rango 1 $\mathbf g\mathbf h^T$, de donde podemos leer $\mathbf g$y $\mathbf h$, las dos líneas que estamos buscando.

Formar el conjugado de$A$,

$$B=\left[\begin{array}{r}48400&-24200&4840\\-24200&12100&-2420\\4840&-2420&484\end{array}\right]$$ (he multiplicado por $-1$aquí) y elija cualquier elemento diagonal distinto de cero. El elemento inferior izquierdo es reconocible como $2^2\cdot11^2$, así que tomaremos ese. Entonces tenemos por $\alpha\mathbf q$la columna correspondiente de $B$dividido por la raíz cuadrada de este elemento: $(220,-110,22)^T$. Forme la matriz de productos cruzados de este vector y súmela a $A$, conseguir $$\left[\begin{array}{r}21&28&-70\\72&96&-240\\150&200&-500\end{array}\right].$$ Cualquier fila y columna de esta matriz que contenga un elemento diagonal distinto de cero nos da nuestras dos líneas. Después de eliminar los factores comunes de las ecuaciones resultantes para hacer los coeficientes más pequeños, tenemos para las ecuaciones de las tangentes que pasan por $(10,-5)$ $$3x+4y=10 \\ 7x+24y=-50.$$