Calcular el tiempo de impacto en elipisoide Tierra

Como un proyecto simple para introducirme en la mecánica orbital, estoy intentando calcular los tiempos de impacto de un objeto cercano a la Tierra. En este momento estoy usando solo mecánica Kepleriana (sin resistencia del aire u otras fuerzas perturbadoras). De Fundamentos de astrodinámica , dado un objeto con anomalía excéntrica mi 0 a t 0 y mi 1 a t 1 :

t 1 = t 0 + a 3 m ( mi 1 − mi pecado ⁡ mi 1 − ( mi 0 − mi pecado ⁡ mi 0 ) )

donde a es el semieje mayor, mi es la excentricidad y m es el parámetro gravitacional. Entonces podemos calcular el radio del periapsis. Asumiendo una Tierra esférica, si esto es menor que el radio de la Tierra, el objeto impactará. Si este es el caso, dejar r 1 = R = radio de la Tierra, podemos calcular las anomalías excéntricas en t 0 y t 1 usando:

porque ⁡ v i = a ( 1 − mi 2 ) − r i mi r i
porque ⁡ mi i = mi + C o s v i 1 + mi porque ⁡ v i

donde v i es la verdadera anomalía, y r i es la distancia desde el centro de la Tierra en t i . Este método funciona bien para trayectorias no parabólicas (estoy abierto a modificaciones para trayectorias parabólicas).

El siguiente paso es aflojar la restricción de una Tierra esférica y permitir que la Tierra sea un elipsoide, en otras palabras, dejar que R = R ( z ) (simétrico alrededor del eje de rotación). Específicamente, me gustaría tener en cuenta un abultamiento en el ecuador prescribiendo un radio ecuatorial, un radio polar y una excentricidad. ¿Es posible resolver este problema analíticamente o hay que hacerlo numéricamente?

Esta es mi primera publicación en este intercambio de pila; Sentí que encajaba mejor aquí que scicomp, por ejemplo. Si ese no es el caso, por favor hágamelo saber.

Un objeto cercano a la Tierra estará en una trayectoria hiperbólica con respecto a la Tierra, por lo que no puedes usar estas ecuaciones, que son para algo en órbita alrededor de la Tierra.
No necesariamente, podría tener algo como un misil balístico intercontinental, por ejemplo.
Aparte, ¿crees que vale la pena leer ese libro? Me concentré en historia, derecho, administración, etc. en mi título relacionado con el espacio (con poco enfoque en otros), pero siempre estoy interesado en diversificarme.
¡Sí, definitivamente! Está muy bien escrito y cubre una amplia gama de temas, desde órbitas básicas hasta trayectorias interplanetarias. Cada sección repasa la historia de los métodos que se utilizan; algo que me pareció muy interesante. El único inconveniente es que fue escrito en la década de 1970, por lo que está algo desactualizado, pero bueno, fue lo suficientemente bueno como para llevarnos a la luna.
Si permite una Tierra elipsoide, obtendrá órbitas en las que un objeto golpeará o perderá la Tierra dependiendo de dónde se encuentre la Tierra en su período de rotación. Así que ha agregado una dimensión a su problema.
Supuse que por objeto cercano a la Tierra, te referías a un objeto cercano a la Tierra .
@MarkAdler, lo siento, editaré la pregunta para que quede más claro.
@Hobbes Tal vez no esté claro en la pregunta, pero mi elipsoide seguirá siendo simétrico alrededor del eje de rotación (solo un ecuador abultado), por lo que no creo que el período de rotación de la Tierra importe (ignorando la nutación y la precesión).
Votaría por hacerlo numéricamente, pero eso es lo que estoy acostumbrado a hacer.
Supongo que no restringe el problema solo a las inclinaciones ecuatoriales, ya que podría usar órbitas de Kepler con un factor de corrección para el parámetro gravitatorio. ¿También asumes una densidad homogénea, o el centro sería más denso, como la Tierra?
No ha descrito suficientemente su problema. Si tu órbita está en el plano del ecuador, entonces no es diferente al problema esférico, solo usando el radio ecuatorial. ¿La órbita está inclinada? ¿Está rotado sobre la línea de los ábsides? ¿Se gira alrededor de la perpendicular al plano de la órbita?
@MarkAdler No estoy poniendo ninguna restricción en la órbita, de hecho, también me gustaría poder calcular los tiempos de impacto para parábolas e hipérbolas, pero ese es probablemente un problema ligeramente diferente, por lo que aceptaría respuestas específicas para cualquier elipse.
@fibonatic, de hecho, solo estoy interesado en el caso muy simplificado de tener un ecuador abultado, ignorando cualquier perturbación gravitatoria causada por él. Esto significa que todavía podemos tener la Tierra como una masa puntual (suponiendo una densidad uniforme).

Respuestas (1)

En el caso general, deberá resolver numéricamente los radios en los que la órbita interseca al elipsoide. Luego puede resolver analíticamente los tiempos en los que la órbita está en esos radios. Es decir, si ignoras j 2 . Como lo convirtió en un elipsoide, ha introducido un j 2 , por lo que ya no estarás en una órbita Kepleriana. Tomar j 2 en cuenta, los tiempos también tendrían que resolverse numéricamente.

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