Caída de objetos cargados: ¿paradoja de conservación de energía?

Imagina que empezamos con dos objetos con cargas opuestas en el suelo, separados por una distancia$d$, con cargos$+q$,$-q$y masas$m$.

Los elevamos a ambos a una altura$h$.

Al hacerlo, solo los movemos a velocidad constante para que ninguna carga produzca un campo electromagnético radiativo en la vecindad de la otra.

Suponga también que los objetos se mueven simultáneamente sobre polos sin fricción, de modo que su atracción de Coulomb siempre es horizontal y, por lo tanto, no juega ningún papel en el experimento.

La energía que hemos puesto en el sistema es simplemente:

$$E_{grav} = 2mgh$$

Ahora soltamos simultáneamente los dos objetos y vuelven a caer al suelo.

La fuerza de gravedad o peso,$mg$, actúa sobre cada objeto a lo largo de la distancia$h$de modo que terminamos con la energía cinética final de los objetos, asumiendo solo el efecto de la gravedad , dada por:

$$KE_{grav} = 2mgh$$

Por lo tanto, parece que tenemos un balance de energía como se esperaba.

Pero este no es el final de la historia. A medida que los objetos cargados aceleran hacia el suelo, cada uno de ellos produce un campo eléctrico radiativo a una distancia$d$dada por:

$$\mathbf{E_{rad}} = -\frac{\pm q}{4 \pi \epsilon_0c^2d}\mathbf{g}$$

Por lo tanto, hay una fuerza adicional hacia abajo en cada objeto dada por:

$$\mathbf{F_{em}} =\frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0c^2d}\mathbf{g}$$

Como esta fuerza actúa sobre cada objeto a lo largo de una distancia$h$entonces la energía cinética adicional de los objetos cuando llegan al suelo debido al efecto mutuo de sus campos eléctricos radiativos es:

$$KE_{em} = \frac{2 q^2 g h}{4 \pi \epsilon_0c^2d}$$

Parece que estamos sacando más energía de la que hemos puesto en el sistema.

¿Qué hay de malo en este cálculo?

Posdata

Mark Mitchison ha señalado que necesito encontrar la aceleración para el caso en que actúen tanto la fuerza electromagnética como la fuerza gravitacional. No puedo asumir que es solo la aceleración gravitacional.$\mathbf{g}$.

Permítanme tratar de calcular la ecuación de movimiento de uno de los objetos, donde ambos objetos tienen una aceleración hacia abajo.$a$.

Tenemos:

$$F = m a$$

la fuerza total$F$en uno de los objetos es la suma de las componentes gravitacional y electromagnética:

$$F = m g + \frac{q^2a}{4 \pi \epsilon_0 c^2 d}$$

Si definimos:

$$m_{e} = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 c^2 d}$$

entonces la fuerza total sobre un objeto viene dada por:

$$F = m g + m_{e} a$$

La ecuación de movimiento es entonces:

$$m a = m g + m_{e} a$$

Así la aceleración$a$es dado por:

$$a = \frac{mg}{m - m_{e}}$$

La energía total ganada por un objeto bajo la influencia tanto de la fuerza gravitacional como de la fuerza electromagnética a medida que cae una distancia.$h$es entonces:

$$E = F h$$

$$E = \left(mg + m_{e} \cdot \frac{mg}{m - m_{e}}\right)h$$

$$E = mgh \cdot \frac{m}{m-m_{e}}$$

Esta es más energía que la$mgh$que ponemos en el objeto en primer lugar.

Así que la paradoja sigue en pie.

pd si$m_e$es pequeño entonces tenemos:

$$E \approx mgh + m_{e}gh$$

lo cual es consistente con mi cálculo original anterior donde tomé la aceleración para ser simplemente$g$.