¿Cómo calculo los campos eléctricos debidos a corrientes de dipolos magnéticos?

Versión corta de mi pregunta:

¿Las corrientes dipolares causan campos? Creo que las corrientes de dipolos magnéticos alineados provocan un campo eléctrico, pero no sé cómo calcular este campo excepto en los casos más simples. quisiera saber como!

Versión completa de mi pregunta:

Supongamos que tengo un cable (o tubería) que transporta una corriente constante de partículas, y el cable tiene la forma de una curva sinusoidal en el$X$-$Y$plano con periodo espacial$P$y amplitud$A$. Quiero calcular los campos eléctrico y magnético producidos por la corriente en el alambre.

1. Si las partículas que fluyen están cargadas, puedo usar la ley de Biot-Savart para escribir una integral y (al menos numéricamente) calcular el campo magnético resultante. En el límite donde$A=0$, puedo comparar mis resultados con un cálculo de Lorentz-boost y ver que los dos métodos concuerdan.

2. Si las partículas que fluyen son dipolos eléctricos que apuntan en el$Z$-dirección, las cosas son más complicadas, pero todavía puedo usar la ley de Biot-Savart, sumando los campos magnéticos de dos corrientes eléctricas sinusoidales iguales, opuestas y desplazadas para obtener un campo magnético neto, aunque uno que cae mucho más rápido que en el caso anterior. Todavía puedo comparar mis resultados con el impulso de Lorentz en el$A=0$límite, y encuentre que los dos métodos concuerdan.

3. Sin embargo, si las partículas que fluyen son dipolos magnéticos que apuntan en el$Z$-dirección, no sé cómo calcular sus campos eléctricos excepto en el$A=0$límite. En este límite, puedo usar un argumento de impulso de Lorentz para mostrar que existe un campo eléctrico, pero no conozco ningún equivalente a la ley de Biot-Savart para corrientes de dipolos magnéticos. Me sorprendería mucho si el campo eléctrico desapareciera en el$A>0$caso. ¿Cómo procedo? ¿Está esto cubierto en los libros de texto de primaria y me lo he perdido de alguna manera?

   Estoy tentado a modelar este tercer caso de manera similar al caso 2, como un par ficticio de "corrientes magnéticas" iguales y opuestas, y usar una versión eléctrica de Biot-Savart. Esto produce el resultado correcto en el$A=0$caso, y parece razonable en el$A>0$caso, pero parece no tener base en ningún libro de texto o referencia que pueda encontrar. ¿Qué me estoy perdiendo?

Advertencias:

1. Si es posible, base su respuesta en libros de texto creíbles o artículos revisados ​​por pares . Por ejemplo, si cree que a las ecuaciones de Maxwell les falta un$\vec{v} \times \vec{M}$término, me gustaría mucho ver un enlace externo para respaldarlo.

2. Esto puede ser obvio por el "espíritu" de la pregunta, pero no estoy particularmente apegado a la forma sinusoidal del cable que transporta corriente. Cualquier forma no trivial del cable que impida un impulso de Lorentz es igualmente interesante para mí, así que continúe y cambie la forma del cable si hace que las matemáticas sean más fáciles.