Definiciones

Primero, comencemos definiendo algunos parámetros:

• $\mu_{o}$es la permeabilidad del espacio libre
• $\varepsilon_{o}$es la permitividad del espacio libre
• $\mathbf{E}$es el campo eléctrico de 3 vectores
• $\mathbf{B}$es el campo magnético de 3 vectores
• $\mathbf{S}$es el flujo de Poynting de 3 vectores (también llamado vector de Poynting)
• $\mathbf{j}$es la densidad de corriente eléctrica de 3 vectores
• $\partial_{\alpha}$es la derivada parcial con respecto al parámetro$\alpha$
• $q_{s}$carga de especies de partículas$s$
• $n_{s}$densidad numérica de especies de partículas$s$(es decir, número por unidad de volumen)
• $\mathbf{v}_{s}$velocidad de flujo a granel de especies de partículas$s$

Fondo

El teorema de Poynting se define matemáticamente (en forma diferencial) como:

$$\partial_{t} \left( w_{B} + w_{E} \right) + \nabla \cdot \mathbf{S} = - \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \tag{1}$$ dónde $\partial_{t}$es la derivada temporal parcial, $w_{B} = B^{2}/\left( 2 \mu_{o} \right)$, $w_{E} = \varepsilon_{o} E^{2}/2$, $\mathbf{S} = \left( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \right)/\mu_{o}$, y $\mathbf{j} = \sum_{s} \ q_{s} \ n_{s} \mathbf{v}_{s}$. $^{\mathbf{A}}$A menudo podemos escribir el teorema de Poynting en forma diferencial porque el volumen sobre el que se integra (es decir, la superficie a través de la cual $\mathbf{S}$es salir/entrar) es generalmente arbitrario [p. ej., véanse las páginas 258-264 en Jackson [1999]].

Podemos definir el teorema de Poynting en términos de frases físicamente significativas, como las siguientes:

1. la tasa de cambio en el tiempo de la densidad de energía de los campos electromagnéticos ; más
2. la tasa de flujo de energía electromagnética que sale de una superficie arbitraria ; es igual
3. la energía perdida debido a la transferencia de cantidad de movimiento entre partículas y campos .

Podríamos describir fácilmente 1. como la tasa de transferencia de energía por unidad de volumen , 2. como la potencia que sale de un volumen a través de una superficie definida , y 3. como la tasa de trabajo realizado por unidad de volumen sobre las cargas en el elemento de volumen

Una cosa a tener en cuenta es que cuando está en forma diferencial como en la Ecuación 1, el teorema de Poynting es un ejemplo de una ecuación de continuidad . Todas las ecuaciones de continuidad se expresan como:

1. la tasa de cambio de tiempo de una densidad; más
2. la tasa de flujo que sale de una superficie arbitraria; es igual
3. Fuentes y pérdidas.

En términos de unidades, un flujo es solo una densidad multiplicada por una velocidad. En términos simples (sueltos/descuidados), la velocidad da la dirección y el ritmo, mientras que la densidad proporciona el volumen y el número.

¿Cómo se relaciona la teorema de Poynting con tales sistemas?

El teorema de Poynting es, en resumen, un enunciado de la conservación de la energía electromagnética.

El$\left( \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \right)$El término en la Ecuación 1 muestra cómo la energía se transforma de energía electromagnética (mecánica de partículas) a energía mecánica de partículas (electromagnética).$^{\mathbf{B}}$Puede ver esto recordando que una forma de expresar potencia (es decir, energía por unidad de tiempo) viene dada por:

$$P = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$$ dónde $\mathbf{F}$es alguna fuerza que actúa sobre algún objeto y $\mathbf{v}$es la velocidad de dicho objeto. cuando miras el $\left( \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \right)$término, se puede ver que puede ser representado por: $$\left( \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \right) = \mathbf{E} \cdot \left( \sum_{s} \ q_{s} \ n_{s} \mathbf{v}_{s} \right) \\ \sim \sum_{s} \ \frac{ \mathbf{F} }{ q_{s} } \cdot \left( q_{s} \ n_{s} \mathbf{v}_{s} \right)$$ donde acabo de reescribir $\mathbf{E}$como $\mathbf{F}/q$(de la fuerza de Lorentz ). Entonces puedes ver que hay un término similar a $\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$dentro $\left( \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \right)$. Por lo tanto, la $\left( \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \right)$término es claramente una tasa de cambio de energía por unidad de volumen.

¿Para añadir a la conservación de la energía?

El teorema de Poynting es parte de la conservación total de la energía de un sistema dado. Hay numerosas formas de tratar esto y muchas pueden ser demasiado complicadas para entrar aquí, pero la respuesta simple es que define la conversión de energía de partículas a/desde energía electromagnética. Por ejemplo, se puede utilizar el teorema de Poynting con la ley de Ohm generalizada [p. ej., consulte la página 572 en Jackson [1999]] al describir las propiedades de transporte (p. ej., conductividad ) de un sistema dado.

Entonces, en cierto sentido, sí, el teorema de Poynting se suma a la conservación de la energía en el sentido de que es una parte de esa ley.

Notas al margen

R. Ya convertí la expresión de densidad de corriente a una forma macroscópica. Para ver más detalles sobre la diferencia entre las ecuaciones micro y macroscópicas de Maxwell , consulte las páginas 248-258 en Jackson [1999].
B. Tenga en cuenta que he incluido calor (es decir, energía cinética aleatoria) y energía cinética de flujo a granel en mi uso del término energía mecánica aquí.

Referencias

• JD Jackson, Electrodinámica clásica , tercera edición, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, NY, 1999.

He tenido una idea pero no sé si mi análisis es erróneo o no.

En lugar de comenzar mirando un motor, quiero comenzar con una consideración de un generador.

Una bobina conductora$WXYZ$con un pequeño espacio en él está en el plano de la pantalla girando como se muestra en el diagrama con lado$XY$saliendo de la pantalla y de lado$WZ$entrando en la pantalla.
El vector unitario$\hat n$saliendo de la pantalla y define la dirección positiva.

Usando la ley de Faraday$\int_S \vec E \cdot d\vec s = - \frac {d}{dt} \iint_A \vec B \cdot d\vec a$se predice que el campo E inducido está en el sentido de las agujas del reloj.
Esto es porque$\vec B \cdot d \vec a$es positivo y la integral de línea del campo E debe hacerse en sentido antihorario cuando se usa la convención de la mano derecha.

El campo E inducido mueve cargas en el cable que luego produce un campo E electrostático de igual magnitud pero de dirección opuesta en la bobina.
Una vez que se ha configurado el campo E electrostático, no fluye corriente en el circuito y, como no hay campo B, se genera el vector de Poynting.$\vec S$siendo cero.

la integral$\int_S \vec E \cdot d\vec s$se llama fem inducida.

El campo E electrostático se ha introducido porque es un campo conservativo y, por lo tanto, se puede usar al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff.$\int_S \vec E \cdot d\vec s =0$.

Introducir una resistencia a través del espacio significa que una corriente$I$fluirá en la bobina y se producirá un campo B.
Tenga en cuenta que en el diagrama anterior esto significaría que la corriente inducida en el circuito estará en el sentido de las agujas del reloj.
Esa corriente inducida producirá un campo magnético dentro de la bobina hacia la pantalla, tratando así de reducir el flujo magnético creciente que lo produce: la ley de Lenz.

Considere la resistencia como un cilindro.

Usando la ley de Ampere$\int_S \vec B \cdot d\vec s = \mu_o\iint_A \vec J \cdot d\vec a$da$B = \dfrac{\mu_oI}{2 \pi r}$.

La dirección del vector de Poynting es la dirección de$\vec E \times \vec B$y para la resistencia apunta hacia adentro hacia la resistencia.

La magnitud del campo E es$\frac{V_R}{L}$dando la magnitud del vector de Poynting como$\frac{V_RI}{2 \pi r L}$.

Desde$2 \pi r L$es el área de superficie de la resistencia a través de la cual entra la energía, la energía por segundo es$V_RI$- como se esperaba.

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Es la siguiente parte de la que no estoy seguro y agradecería algunos comentarios al respecto.

Para el campo E electrostático y el campo B asociado en la bobina, el vector de Poynting apunta hacia afuera.
¿Es esta la energía que sale de la bobina y luego entra en la resistencia?

Para el campo E inducido y el campo magnético asociado, el vector de Poynting apunta hacia adentro y siempre tiene la misma magnitud que el vector de Poynting asociado con el campo E electrostático.

¿El vector de Poynting que apunta hacia adentro asociado con el campo E inducido representa el flujo de energía hacia la bobina proveniente del trabajo realizado por las fuerzas externas que hacen que la bobina gire?

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Si lo que he escrito arriba es correcto, entonces la introducción de una fuente de voltaje, con su terminal positivo en el lado derecho en el diagrama de arriba, en serie con la resistencia y la bobina puede resultar en una de tres cosas.

La primera es que la corriente en el circuito continúa fluyendo en la misma dirección.
El análisis de la fuente de voltaje será exactamente el mismo que para la resistencia con el vector de Poynting apuntando hacia adentro mostrando una potencia de$V_s I$en la fuente de voltaje.

La aplicación de KVL da$V_B - V_S - V_R= 0 \Rightarrow V_B I = V_S I + V_R I$

Lo cual puede interpretarse como la potencia de entrada al generador$V_B I$es igual a la potencia disipada en la resistencia y la fuente de tensión.

La segunda posibilidad es que$V_S$es un valor tal que no fluye corriente en el circuito.

La última situación es cuando la fuente de voltaje$V_S$es lo suficientemente grande como para producir un campo E en el circuito externo que es grande para impulsar la corriente en la dirección opuesta.
Se ha pasado de un generador a un motor y$V_B$a veces se llama fem posterior.

Con este cambio de dirección de corriente, la resistencia tiene un vector de Poynting hacia adentro al igual que la bobina, pero para la fuente de voltaje, el vector de Poynting está hacia afuera.

La aplicación de KVL da$V_S - V_B – V_R = 0 \Rightarrow V_S I= V_BI +V_R i$

La potencia de salida de la fuente de voltaje es igual al trabajo mecánico realizado por segundo por el motor más la potencia disipada en la resistencia.