Probable error en la derivación de la forma vectorial de la Ley de Biot-Savart

En el curso de " Electrodinámica Clásica ", nuestro profesor enunció la Ley de Biot-Savart de la siguiente manera:

$$\vec {dB}=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{i\vec {dl} \times \vec r}{r^3}$$

Luego procedió a derivar la forma vectorial de la Ley de Biot-Savart de la siguiente manera:

$$\begin{align} \vec {B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \int_C \frac{i\vec {dl} \times \vec r}{r^3}\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \int_C \frac{(\iint \vec j\cdot \vec{ds})\vec {dl} \times \vec r}{r^3}\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \iiint_V \frac{\vec j \times \vec r}{r^3} dV \end{align}$$

¿Es correcta la derivación? El resultado es correcto ya que en mi libro, el resultado es solo así. Pero dudo que este método o derivación sea correcto o no.

La razón de mi pensamiento se menciona a continuación:

Sabemos que para tres vectores cualesquiera$\vec A,\vec B,\vec C$,

$$(\vec A\cdot \vec B)\vec C \not = \vec A(\vec B\cdot \vec C)$$

Pero luego en la derivación, vemos que

$$(\vec j\cdot \vec{ds})\vec {dl}=\vec j(\vec{ds}\cdot \vec {dl})=\vec j dV$$

Pero esto no es cierto según el argumento anterior.

¿Estoy en lo correcto? ¿O es correcta la derivación?

¿O es que la derivación es intuitiva en ese caso y no absolutamente matemáticamente rigurosa?

Gracias.