Contradicción entre la conservación de la energía y la fuerza de amortiguamiento de la radiación

Question

Contradicción entre la conservación de la energía y la fuerza de amortiguamiento de la radiación

Anónimo

Sabemos que si se acelera una partícula cargada, irradiará. Según la fórmula de Larmor , la potencia es

PAG = \frac{2}{3} \frac{q^{2} a^{2}}{C^{3}}

$P = {2 \over 3} \frac{q^2 a^2}{ c^3}$ en las unidades de Gauss, donde

a

$a$ es aceleración.

Y la partícula acelerada experimentará una fuerza de amortiguamiento de radiación (fuerza de Abraham-Lorentz)

F_{r a d} = \frac{2}{3} \frac{q^{2}}{C^{3}} \dot{a}

$\mathbf{F}_\mathrm{rad} = { 2 \over 3} \frac{ q^2}{ c^3} \mathbf{\dot{a}}$

La ecuación de movimiento de la partícula debe ser

\begin{matrix} (1) & metro \frac{d v}{d t} = F_{mi X t} + \frac{2}{3} \frac{q^{2}}{C^{3}} \dot{a} \end{matrix}

$m \frac{d \mathbf{v}}{dt}= \mathbf{F}_{ext}+ { 2 \over 3} \frac{ q^2}{ c^3} \mathbf{\dot{a}} \tag{1}$

Pero surge una contradicción cuando la fuerza externa es una fuerza constante. En este caso, la partícula tiene una aceleración constante ( $\mathbf{\dot a}=0$ ). Pero seguirá irradiando energía ( $P\neq0$ ). El trabajo realizado por la fuerza externa $\mathbf{F}_{ext}$ se traducirá totalmente a la energía cinética de la partícula (debido a la aceleración uniforme), pero la partícula aún irradiará energía al infinito. ¿Viola esto la conservación de la energía?

Nota 1: Para fuerza constante, la solución de aceleración uniforme $\mathbf{\dot a}=0$ sigue siendo la solución de la nueva ecuación (1). Eso es, $\dot a=0$ es una solución para $a=b$ . Ciertamente esta solución ( $\dot a=0$ ) también puede ser la solución de $a= b+d \dot a =b$ .

Nota 2: aunque tenga en cuenta el efecto relativista, aún no puede explicar esta contradicción. La generalización relativista de la fuerza de amortiguamiento de la radiación se encuentra en La teoría clásica de campos de Landau (76.2)

F_{r a d}^{m} = \frac{2 {mi}^{2}}{3 C} (\frac{d^{2} {tu}^{m}}{d s^{2}} - ({tu}^{m} {tu}^{α}) \frac{d^{2} {tu}_{α}}{d s^{2}})

$F_{rad}^\mu= \frac{2 e^2}{3 c}(\frac{d^2 u^{\mu}}{ds^2}-(u^\mu u^\alpha)\frac{d^2 u_\alpha}{ds^2})$ Entonces vemos con fuerza externa constante

F_{e x t}^{μ} = cosntant

$F_{ext}^\mu=\text{cosntant}$ , ecuación de movimiento,

\begin{matrix} (2) & metro \frac{d {tu}^{m}}{d s} = F_{mi X t}^{m} + F_{r a d}^{m} \end{matrix}

$m\frac{du^{\mu}}{ds}=F^{\mu}_{ext}+F^{\mu}_{rad}\tag{2}$

Constante $4$ -aceleración $\frac{du^{\mu}}{ds}=\frac{F^{\mu}_{ext}}{m}$ , $\frac{d^2 u^{\mu}}{ds^2}=0$ sigue siendo la solución de la ecuación (2). Entonces todavía no hay fuerza de amortiguamiento de radiación.

granjero

Su ecuación diferencial queda de la forma

a = b + d \dot{a}

$a=b+d\dot a$ dónde

b

$b$ y

d

$d$ son constantes. Es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

usuario153663

@Farcher Pero la solución original sigue siendo la solución de la nueva ecuación.

granjero

¿De dónde sacaste la idea de que la aceleración es constante?

usuario153663

@Farcher

\dot{a} = 0

$\dot a=0$ es una solución para

a = b

$a=b$ . Ciertamente esta solución también puede ser la solución de

a = b + d \dot{a} = b

$a= b+d \dot a =b$

marca h

Aparentemente, esta es una pregunta difícil: physics.stackexchange.com/q/70915

Respuestas (1)

Contradicción entre la conservación de la energía y la fuerza de amortiguamiento de la radiación

Su ecuación diferencial queda de la forma $a=b+d\dot a$ dónde $b$ y $d$ son constantes. Es una ecuación diferencial lineal de primer orden.
@Farcher Pero la solución original sigue siendo la solución de la nueva ecuación.
¿De dónde sacaste la idea de que la aceleración es constante?
@Farcher $\dot a=0$ es una solución para $a=b$ . Ciertamente esta solución también puede ser la solución de $a= b+d \dot a =b$
Aparentemente, esta es una pregunta difícil: physics.stackexchange.com/q/70915

Ján Lalinský · Answer 1

La ecuación (1) es solo una ecuación aproximada del movimiento de un cuerpo cargado de dimensiones distintas de cero, porque la expresión

\frac{2}{3} \frac{q^{2}}{C^{3}} \dot{a}

$\frac{2}{3}\frac{q^2}{c^3}\dot{\mathbf a}$

solo aproxima la fuerza EM interna total que actúa sobre dicho cuerpo debido al movimiento no rectilíneo de sus partes. Debido a esta aproximación, esta ecuación no refleja la ley de conservación de la energía, solo da una descripción aproximada del movimiento del cuerpo como un todo.

La expresión exacta de la fuerza interna neta sería mucho más complicada, implicaría grados de libertad internos del cuerpo cargado y la interacción de sus partes. Para modelos muy simples de tal cuerpo cargado (como una esfera uniformemente cargada), la fuerza neta se puede expresar como una serie infinita y el término anterior es solo un término de esta serie.

En un modelo exacto del cuerpo cargado donde la conservación de la energía está presente y puede probarse, la energía que el sistema irradia se equilibra con la disminución de la energía interna dentro y cerca del cuerpo cargado. Eso incluye la energía EM en la vecindad del cuerpo.

Pero si se descuidan los grados internos y las dimensiones del cuerpo para que se convierta en un punto, esta energía interna se vuelve invisible y los grados de libertad visibles restantes manifiestan una violación de la conservación de la energía. Es solo por simplificar tanto el modelo del cuerpo cargado extendido, no es una indicación de que haya algo mal con la teoría general.

Vea también mi respuesta aquí: ¿ Una partícula cargada que se acelera constantemente emite radiación EM o no?

Contradicción entre la conservación de la energía y la fuerza de amortiguamiento de la radiación

Anónimo

granjero

usuario153663

granjero

usuario153663

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Respuestas (1)

Ján Lalinský

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