Cadena de Dirac en espacio compacto (periódico)

En un espacio orientable compacto, la carga magnética total (o el cambio eléctrico para el caso) debe ser cero según la ley de Gauss. Todas las líneas de campo magnético que salen de los monopolos deben ir a alguna parte, por lo que acumulan la misma cantidad de antimonopolos. La prueba de la declaración es simple: toma una pequeña esfera sin carga magnética en el interior y la considera el límite de lo que localmente llamaría la región exterior. La carga total en el exterior también debe ser cero. Cuando la carga magnética neta es cero, la cuerda de Dirac se puede elegir consistentemente para terminar con carga magnética.

Cuando el espacio no es orientable, el argumento se aplica a su doble cubierta, de manera que la cuerda de Dirac puede ir entre los monopolos y su imagen complementaria. Un espacio no orientable debe estar cubierto por varios gráficos superpuestos y, en el caso de un espacio no orientable, puede hacer que la cadena de Dirac esté en un gráfico y no en otro.

Para ver que los casos de los que estoy hablando no son vacíos, considere una botella de Klein que cruza un círculo (un cuadro periódico en x, y, z de tamaño unitario, con la coordenada x identificada en el sentido opuesto a lo largo del período). La doble cubierta es el toro. Luego coloque una sola carga magnética en el centro de la botella de Klein. El campo magnético cambia de signo bajo un reflejo de una coordenada perpendicular al campo, y mantiene su signo bajo un reflejo de la coordenada paralela a la dirección del campo (este extraño comportamiento se vuelve obvio si consideramos el campo magnético como un tensor antisimétrico de 2 índices ). Entonces, el campo magnético de un monopolo en la botella de Klein que cruza un círculo es consistente: es el mismo que el campo magnético de un monopolo y antimonopolo en la doble cubierta del toro.

En esta situación, la cuerda de Dirac irá del monopolo al antimonopolo en el toro, pero en la descripción de la botella de Klein, debe describirse parche de coordenadas por parche de coordenadas.