¿Se pueden introducir monopolos magnéticos sin cuerdas de Dirac?

Para introducir monopolos magnéticos en las ecuaciones de Maxwell, Dirac utiliza cuerdas especiales, que son singularidades en el espacio, lo que permite que los potenciales sean potenciales de calibre. Una consecuencia de esto es la cuantización de la carga.

Está bien, se ve genial. Pero, ¿es esta la única forma de introducir monopolos magnéticos?

Respuestas (4)

Si tiene una fuente de campo magnético radial B ∼ q METRO / r 2 , entonces se puede probar que el vector potencial A → no puede ser de un solo valor. Eso es porque B → = C tu r yo A → para un bien definido A → satisface automáticamente d i v   B → = 0 . Sin embargo, q METRO / r 2 tiene un rotacional proporcional a la función delta en el origen.

Aún así, esta función delta se desvanece en todas partes excepto en una cadena de Dirac (y el espacio menos la cadena semiinfinita de Dirac simplemente está conectado), por lo que con la cadena de Dirac, A → puede definirse en todas partes. A → todavía cambia bajo el bucle alrededor de la cuerda de Dirac. De esta forma, el monopolo magnético se reemplaza por un dipolo magnético muy largo. Se conectan dos polos con un solenoide delgado y uno de los monopolos se envía al infinito y se vuelve irrelevante. La cuerda de Dirac, es decir, un solenoide muy delgado, también se vuelve inobservable, incluso para experimentos de interferencia (siempre que el flujo magnético confinado esté correctamente cuantificado).

Los argumentos anteriores son impermeables y no se pueden eludir. Entonces, si está preguntando si hay una manera de introducir un monopolo magnético para que el vector potencial tenga un solo valor, la respuesta es un rotundo No, al igual que si pregunta si es posible introducir el número 4 para que no es igual a 2+2.

Sin embargo, uno puede intentar buscar soluciones a problemas similares, menos singulares. En las teorías con Higgses, se puede "diluir" un poco la función delta y encontrar soluciones no singulares de las teorías de Yang-Mills con campos de Higgs, las llamadas

http://en.wikipedia.org/wiki/%27t_Hooft%E2%80%93Polyakov_monopole

't Hooft-Polyakov monopolo que no es singular pero no se distingue del monopolo de Dirac cuando está muy lejos del centro de la solución, en relación con su escala de longitud característica. Esta solución también tiene varias generalizaciones.

Introducir la carga magnética en las ecuaciones de Maxwell no es un problema en absoluto, y no requiere cadenas, etc. Además, hace que las ecuaciones de Maxwell sean simétricas con los campos/cargas magnéticos y eléctricos. Las ecuaciones son las siguientes:

C tu r yo ⁡ mi + ∂ H ∂ t = − j metro C tu r yo ⁡ H − ∂ mi ∂ t = j mi d i v ⁡ mi = j mi 0 d i v ⁡ H = j metro 0

Sin embargo, la introducción de carga magnética conduce a una divergencia distinta de cero de los campos magnéticos, lo que hace imposible representar el campo magnético como un rizo de potencial vectorial. Como indicó en su pregunta, Dirac introdujo una singularidad para preservar la descripción de los potenciales de calibre del fenómeno.

El uso de potenciales de calibre está justificado por un ajuste excelente de las predicciones QED y los datos experimentales en todos los aspectos que no están relacionados con la identificación de los valores de masa y carga de las partículas a partir de la teoría. El cálculo sencillo conduce a infinitos, y el procedimiento de renormalización no ayuda con la identificación de los valores de masa y carga.

Se sabe que las partículas elementales que se observaron experimentalmente tienen carga magnética cero pero momento magnético distinto de cero. Por lo tanto, podría haber una distribución distinta de cero de la densidad de carga magnética "dentro" de las partículas, si admite que las partículas no son puntuales. Este enfoque se puede desarrollar utilizando la descomposición de Gordon del vector actual construido a partir de los espinores de Dirac. Ver por ejemplo aquí .

Y esperamos que el campo magnético sea el rizo de un potencial vectorial (incluso en presencia de monopolos magnéticos que nadie ha visto nunca): ¿porque son divertidos o por una razón fundamental?
De acuerdo con el teorema de Helmholtz, cualquier campo vectorial 3D (como un campo magnético B así como el campo eléctrico mi ) se puede representar como la suma del gradiente del campo escalar y el rotacional de un campo vectorial. Por lo tanto, si d i v B es distinto de cero, es necesario introducir un campo escalar adicional para agregarlo al rizo del potencial vectorial (de valor real): B = C tu r yo A + gramo r a d Φ , donde Φ no es lo mismo que potencial escalar ϕ utilizado para definir el campo eléctrico (en un caso estático mi = − gramo r a d ϕ ).
Hace que la teoría sea un poco más complicada. Debe usar 4 potenciales de valor complejo (consulte, por ejemplo, Mignani y Recami, Il Nuovo Cimento, vol. 30 (1975), p. 533), o un par de 4 potenciales de valor real (consulte arxiv.org/ pdf/math-ph/0203043).
No creo que haya una razón fundamental para evitar la introducción de cargas magnéticas, etc. Es solo porque QED funciona muy bien para una clase específica de problemas físicos (cuando las partículas se consideran puntuales y debido a la carga magnética cero (total) de partículas conocidas). Estoy seguro de que la densidad de carga magnética distinta de cero debe introducirse en la teoría que describirá la estructura intrínseca de las partículas y explicará los valores de sus masas/cargas.
Dime si me equivoco: los monopolos eléctricos y los monopolos magnéticos no son realmente simétricos como nos hubiera gustado, necesitando los primeros sólo un punto como singularidad, necesitando los segundos una cuerda de Dirac; entonces no podemos permutar E y B por ninguna combinación lineal de ellos mismos debido a la cuerda de Dirac, ¿o sí?
No se requiere que el monopolo eléctrico sea un punto. Se requiere que el monopolo magnético en el modelo de Dirac sea una cadena solo para preservar la descripción de 4 potenciales de valor real. Las cargas/campos eléctricos y magnéticos son solo partes reales e imaginarias de campos de valores complejos más generales. definamos F = mi − i B , j m = j mi m − i j metro m . Entonces las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en la forma: d i v F = j 0 , C tu r yo F + i ( ∂ F ∂ t + j ) = 0 .

También existe el enfoque geométrico de un monopolo magnético de tipo Dirac con un núcleo singular, promovido por Wu y Yang, que evita la cadena de Dirac al introducir una topología no trivial, haces de fibras y potenciales de calibre definidos localmente. Conduce a las mismas predicciones físicas, por ejemplo , cuantización de carga , que el método de Dirac.

(Lo anterior no debe combinarse con un monopolo magnético de tipo 't Hooft-Polyakov con un núcleo regular, consulte la respuesta de Lubos Motl y esta publicación de Phys.SE).

Referencias:

  1. TT Wu y CN Yang, Concepto de factores de fase no integrables y formulación global de campos de norma, Phys. Rev. D 12 (1975) 3845.

  2. TT Wu y CN Yang, Monopolo de Dirac sin cadenas: teoría clásica de Lagrange, Phys. Rev. D 14 (1976) 437.

  3. M. Nakahara, Geometría, Topología y Física, 1990.

A continuación se explica cómo se puede construir una teoría monopolar libre de cuerdas.

No se han encontrado monopolos en los experimentos. Por lo tanto, el tema principal a definir son los principios utilizados como pilares para la teoría del monopolo requerida.

El primer paso es formular una definición teórica de monopolos. Esto se hace mediante la bien conocida transformación de dualidad. Aplicando esta transformación al sistema maxwelliano de cargas eléctricas y campos electromagnéticos, se obtiene un sistema de monopolos y campos electromagnéticos de tipo maxwelliano (sin cargas). El siguiente paso es construir una teoría de carga-monopolo unificada.

Examinemos dos postulados que pertenecen a la teoría del monopolo de carga requerida:

(A) Para los sistemas sin carga, la teoría unificada debe tomar una forma que sea completamente dual a la teoría de cargas y campos y para los sistemas sin monopolos debe tomar la forma de la electrodinámica maxwelliana.

(B) Los campos electromagnéticos de un sistema de monopolos y los de un sistema de cargas tienen propiedades dinámicas idénticas.

Uno puede estar tentado a usar ambos postulados (A) y (B) como elementos fundamentales de la teoría. Sin embargo, resulta que este curso es inalcanzable porque se obtienen diferentes conjuntos de ecuaciones de movimiento del postulado (A) (sin (B)) y del postulado (B) (sin (A)).

Se puede probar que el postulado (A) produce una teoría de monopolo de carga libre de cuerdas que es consistente con el principio variacional y el postulado (B) produce las cuerdas de Dirac.

La información sobre artículos científicos que tratan estos temas se puede encontrar en la página señalada por el siguiente enlace.

http://www.tau.ac.il/~elicomay/mono.html

E. Comay

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