¿Por qué no se atribuye a Dirac el descubrimiento del efecto Aharonov-Bohm?

El descubrimiento de Dirac de la cuantización de la carga magnética es distinto del efecto Aharonov-Bohm. Estos efectos dependen de diferentes propiedades topológicas de la variedad sobre la que se mueve una partícula cargada. El efecto Aharonov-Bohm aparece en variedades con un primer grupo de cohomología que no desaparece.$H^1(M)$, mientras que la condición de cuantificación de Dirac tiene lugar cuando el segundo grupo de cohomología$H^2(M)$no es trivial. Consulte, por ejemplo, la sección 4 de notas de clase de VP Nair (páginas 15 a 19).

De hecho, estos dos efectos se combinan para constituir todos los tipos de cuantización posibles de una partícula cargada que se mueve en una variedad.

Es cierto (en ambos casos) que cuando una partícula cargada se mueve en una trayectoria$\Gamma$en el colector$M$, su función de onda adquiere una fase geométrica de

$$e^{\frac{ie}{\hbar c} \int_{\Gamma}\mathbf{A}. d\mathbf{r}}$$

Sin embargo, las consecuencias son diferentes. En el primer caso (Aharonov-Bohm), el vector potencial es proporcional a una forma cerrada pero no exacta$\alpha$en el múltiple.

$$A = \frac{\Phi}{2\pi} \alpha$$

Este es el famoso vector potencial del efecto Aharonov-Bohm cuyo campo magnético correspondiente se desvanece ($\Phi$es el flujo magnético).

$$B = dA = \frac{\Phi}{2\pi} d\alpha = 0$$

Cuando la partícula se mueve en un bucle dual a esta forma en homología, es decir, un bucle no contráctil, el resultado (por el teorma de Stokes) no dependerá de qué bucle tomemos como representante:

$$\int_{\Gamma_1}\mathbf{A}. d\mathbf{r} - \int_{\Gamma_2}\mathbf{A}. d\mathbf{r} = \int_S \mathbf{B}.d\mathbf{S} = 0$$

dónde$S$es el área encerrada por$\Gamma_1$y$\Gamma_2$.

Además, en el caso especial en que$M=S^1$(el círculo), en el que

$$\alpha = d\theta$$ ,

(El ángulo a lo largo de la circunferencia).

En este caso, la fase adquirida es:

$$\frac{e \Phi}{\hbar c}$$

Esto significa que dos flujos que difieren en$\frac{2 \pi\hbar c}{e}$son físicamente equivalentes.

En el segundo caso cuando:$H^2(M)$no es trivial, eligiendo una trayectoria cerrada para descansar sobre una superficie bidimensional no contráctil$\Omega$, nos permite calcular el flujo a través de las dos mitades de la superficie$\Omega_{\pm}$cuyos límites es la trayectoria cerrada:

$$\Phi_{\pm} = \int_{\Gamma} A_{\pm} = \pm \int_{\Omega_{\pm}} B$$ .

Por lo tanto, la diferencia de fase adquirida por la función de onda cuando se trabaja utilizando las coordenadas de la mitad superior y la mitad inferior es

$$\frac{e}{\hbar c}(\int_{\Omega_{+}}B + \int_{\Omega_{-}} B) = \frac{e}{\hbar c} \int_{\Omega} B$$

En el caso de un monopolo

$$\int_{\Omega} B = 4 \pi g$$

(La carga magnética).

La diferencia de fase debe ser un múltiplo entero de$2 \pi$ya que es físicamente equivalente a trabajar en las mitades inferiores o superiores. Así obtenemos la condición de cuantificación de Dirac:

$$\frac{eg}{\hbar c} = \frac{n}{2}$$

Tenga en cuenta también que en el presente caso la fase geométrica no es topológica ya que el campo magnético no se desvanece.