Combinación de Movimientos Armónicos Simples

Question

Combinación de Movimientos Armónicos Simples

ondas
Física
superposición
oscilador armónico
deberes-y-ejercicios

karan singh

¿Será la combinación de 2 movimientos armónicos simples un MAS en sí mismo? Por ejemplo, para funciones simples como

F (t) = pecado ω t - porque ω t

$\ f(t)=\sin\omega t-\cos\omega t$ Puedo usar la trigonometría para mostrar que se puede expresar como

F (t) = \sqrt{2} pecado (ω t - π / 4)

$\ f(t)=\sqrt 2\sin(\omega t-\pi/4)$ .

Pero, ¿qué pasa con las funciones dadas en las preguntas dadas a continuación?

[Ref: "NCERT Class 11th (XI) Physics, Part 2", Diseños digitales; notas en la pág. 357 y Problema 14.4, pág. 359 < enlace > ]

En (b) puedo expresar la función como una combinación de

$\sin\omega t$ y $\sin3\omega t$ .

Cada uno de estos 2 términos puede expresar independientemente un MAS, pero ¿su combinación hará lo mismo?

Como respuesta a las partes (b) y (d), el libro dice que la superposición de dos MAS siempre es periódica pero nunca un MAS. (Creo que esto es incorrecto. Tal vez un error tipográfico)

Además, al final del capítulo hay una nota:

Me estoy confundiendo bastante.

¿Alguien puede decirme cuándo la combinación de 2 SHM es un SHM/periódico/no periódico ?

AlQuemista

Esta pregunta y las respuestas proporcionadas podrían ser útiles. @Karan Singh

AlQuemista

Creo que la propiedad definitoria de un movimiento armónico simple es que es un movimiento periódico con una amplitud constante y una fase constante; es decir, debería ser posible describirlo como

x (t) = A \cos (ω t + ϕ)

$x(t) = A \, \cos(\omega t + \phi)$ , dónde

A

$A$ ,

ω

$\omega$ , y

ϕ

$\phi$ son constantes independientes del tiempo . @Karan Singh

usuario36790

Ver Análisis de Fourier y leer Movimiento general de cuerdas continuas y Análisis de Fourier por Frank S Crawford Jr. en Berkeley Physics: Waves

Juan Alexiou

No lo es

\sin 3 ω t

$\sin 3 \omega t$ pero

\sin^{3} ω t

$\sin^3 \omega t$ en la pregunta del libro de texto.

Respuestas (1)

Combinación de Movimientos Armónicos Simples

Esta pregunta y las respuestas proporcionadas podrían ser útiles. @Karan Singh
Creo que la propiedad definitoria de un movimiento armónico simple es que es un movimiento periódico con una amplitud constante y una fase constante; es decir, debería ser posible describirlo como $x(t) = A \, \cos(\omega t + \phi)$ , dónde $A$ , $\omega$ , y $\phi$ son constantes independientes del tiempo . @Karan Singh
Ver Análisis de Fourier y leer Movimiento general de cuerdas continuas y Análisis de Fourier por Frank S Crawford Jr. en Berkeley Physics: Waves
No lo es $\sin 3 \omega t$ pero $\sin^3 \omega t$ en la pregunta del libro de texto.

Praan · Answer 1

Considere la superposición de dos movimientos armónicos simples

X (t) = X_{1} (t) + X_{2} (t) = A_{1} porque (ω_{1} t + ϕ_{1}) + A_{2} porque (ω_{2} t + ϕ_{2}) .

$\begin{equation} x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1 \cos \left( \omega_1 t + \phi_1 \right) + A_2 \cos \left( \omega_2 t + \phi_2 \right). \end{equation}$ el primer movimiento

x_{1} (t)

$x_1(t)$ es periodico con periodo

T_{1} = \frac{2 π}{ω_{1}}

$T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1}$ y el segundo movimiento

x_{2} (t)

$x_2(t)$ es periodico con periodo

T_{2} = \frac{2 π}{ω_{2}}

$T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2}$ . Claramente, la suma de ambos solo es periódica si

n T_{1} = m T_{2}

$n T_1 = m T_2$ dónde

n

$n$ y

m

$m$ son enteros positivos (gracias al usuario fibonatic por señalar el caso más general). Para ver esto, simplemente escriba

X (t + norte T_{1}) = X_{1} (t + norte T_{1}) + X_{2} (t + metro T_{2}) = X_{1} (t) + X_{2} (t) = X (t) .

$\begin{equation} x\left(t+nT_1\right) = x_1\left(t+nT_1\right) + x_2\left(t+mT_2\right) = x_1(t) + x_2(t) = x(t). \end{equation}$

Además, si el período de ambos movimientos armónicos es el mismo $\omega_1 = \omega_2 = \omega$ , podemos escribir

\begin{aligned} X (t) & = A_{1} [porque (ω t) porque ϕ_{1} - pecado (ω t) pecado ϕ_{1}] + A_{2} [porque (ω t) porque ϕ_{2} - pecado (ω t) pecado ϕ_{2}] \\ = [A_{1} porque ϕ_{1} + A_{2} porque ϕ_{2}] porque (ω t) - [A_{1} pecado (ϕ_{1}) + A_{2} pecado ϕ_{2}] pecado (ω t) \\ = A porque (ω t + ϕ), \end{aligned}

$\begin{align} x(t) & = A_1 \left[ \cos(\omega t) \cos \phi_1 - \sin(\omega t) \sin \phi_1 \right] + A_2 \left[ \cos(\omega t) \cos \phi_2 - \sin(\omega t) \sin \phi_2 \right] \\ & = \left[ A_1 \cos \phi_1 + A_2 \cos \phi_2 \right] \cos(\omega t) - \left[ A_1 \sin(\phi_1) + A_2 \sin \phi_2 \right] \sin(\omega t) \\ & = A \cos \left( \omega t + \phi \right), \end{align}$ donde se usa la regla de la suma

\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β

$\cos\left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ , y definimos

\begin{aligned} A porque ϕ & = A_{1} porque ϕ_{1} + A_{2} porque ϕ_{2} \\ A pecado ϕ & = A_{1} pecado ϕ_{1} + A_{2} pecado ϕ_{2} . \end{aligned}

$\begin{align} A \cos \phi & = A_1 \cos \phi_1 + A_2 \cos \phi_2 \\ A \sin \phi & = A_1 \sin \phi_1 + A_2 \sin \phi_2 . \end{align}$ Esto se puede generalizar a una suma arbitraria de movimientos armónicos con el mismo período:

\sum_{i} A_{i} porque (ω t + ϕ_{i}) = A porque (ω t + ϕ) .

$\begin{equation} \sum_i A_i \cos \left( \omega t + \phi_i \right) = A \cos \left( \omega t + \phi \right). \end{equation}$ Otra forma de entender esto es notar que la ecuación armónica es una ecuación diferencial lineal; cualquier combinación lineal de soluciones también es una solución.

Conclusión

La suma de dos movimientos armónicos con frecuencias. $\omega_1$ y $\omega_2$ es periódica si la razón $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ es un número racional positivo. Si la razón es irracional, el movimiento resultante no es periódico.

Si, además, las frecuencias de los dos movimientos armónicos son iguales, el movimiento resultante es también un movimiento armónico con la misma frecuencia.

Tendría que estar en desacuerdo contigo, por ejemplo según tu definición. $\omega_1=3$ y $\omega_2=5$ No debería ser periódico, pero lo es. Es decir, es periódica si $\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{n}{m}$ , dónde $n$ y $m$ ambos son enteros positivos.
@KaranSingh He actualizado mi respuesta. Hice un descuido en cuanto a la periodicidad. Ver el comentario de fibonatic.

Combinación de Movimientos Armónicos Simples

karan singh

AlQuemista

AlQuemista

usuario36790

Juan Alexiou

Respuestas (1)

Praan

fibonático

Praan

Praan

Interferencia de dos ondas

¿Qué frecuencias de pulsación se escucharán de la superposición de 3 fuentes de frecuencia desigual?

Tensión mínima y máxima en onda transversal [cerrado]

Independencia de Periodo y Amplitud en Movimiento Armónico Simple

Beat frecuencia para 3 ondas

Beat frecuencia de superposición de tres ondas sinusoidales

Longitud equivalente de un péndulo simple

Solución a largo plazo para un oscilador armónico impulsado

Estado superpuesto frente a estado de amplitud cero

¿Cuál es el significado de sujetar el centro del resorte?