Barrera triangular en pozo de potencial infinito

Question

Barrera triangular en pozo de potencial infinito

Lobo solitario

Supongamos que estoy buscando resolver la función de onda para el siguiente potencial 1D:

\begin{matrix} (1) & tu (X) = {\begin{cases} V_{0} \frac{a - | X |}{a} & por | X | < a \\ \infty & por | X | > a \end{cases} \end{matrix}

$U(x) = \begin{cases}V_0\frac{a-|x|}{a}&\quad\text{for}\quad|x|<a \\\infty&\quad\text{for}\quad|x|>a\end{cases} \tag{1}$ Dado que nuestro potencial es simétrico, tenemos soluciones pares e impares, por lo que podemos resolver el sistema para

x \geq 0

$x\ge 0$ y luego construir la solución completa para cualquiera

ψ_{e v e n}

$\psi_{even}$ o

ψ_{o d d}

$\psi_{odd}$ . Para la región dentro del pozo, podemos proyectar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. en una forma que es la ecuación diferencial de Airy (tenga en cuenta que es un potencial lineal), a saber

\begin{matrix} (2) & \frac{d^{2} ψ}{d z^{2}} - z ψ = 0, \end{matrix}

$\frac{d^2\psi}{dz^2}-z\psi = 0, \tag{2}$ dónde

\begin{matrix} (3) & z \equiv q (1 - η), \end{matrix}

$z\equiv Q(1 - \eta), \tag{3}$

dónde

\begin{matrix} (4) & η = \frac{X}{a_{0}}, q = \frac{2 metro V_{0} a_{0}}{ℏ^{2} a}, a_{0} \equiv a - \frac{a}{V_{0}} mi . \end{matrix}

$\eta = \frac{x}{a_0}, \ \ \ Q = \frac{2mV_0a_0}{\hbar^2a}, \ \ \ a_0 \equiv a-\frac{a}{V_0}E. \tag{4}$

Por lo tanto podemos expresar $\psi$ como

\begin{matrix} (5) & ψ (z) = C_{1} A i (z) + C_{2} B i (z) . \end{matrix}

$\psi(z) = C_1Ai(z)+C_2Bi(z). \tag{5}$

Nuestras condiciones de contorno nos dicen:

\begin{matrix} (6) & ψ (ζ_{a}) = 0 \end{matrix}

$\psi(\zeta_a) = 0 \tag{6}$

\begin{matrix} (7) & ψ (ζ_{0}) = 0 por ψ_{o d d} \end{matrix}

$\psi(\zeta_0) = 0\quad\text{for}\quad\psi_{odd} \tag{7}$

\begin{matrix} (8) & ψ^{'} (ζ_{0}) = 0 por ψ_{mi v mi norte} . \end{matrix}

$\psi'(\zeta_0) = 0\quad\text{for}\quad\psi_{even} \tag{8}.$

donde estoy denotando $\zeta_0= z|_{x=0}$ y $\zeta_a= z|_{x=a}$ .

Pregunta : ¿Es este sistema exactamente solucionable?

Por lo general, solo tenemos una condición límite cero en este tipo de problemas que nos permite cuantificar los niveles de energía a través de los ceros de la función de Airy. Pero aquí debemos satisfacer simultáneamente dos condiciones de frontera cero. Para aclarar, aquí está nuestro sistema de ecuaciones lineales.

$\psi_{odd}$ :

\begin{matrix} (9) & C_{1} A i (ζ_{0}) + C_{2} B i (ζ_{0}) = 0 \end{matrix}

$C_1Ai(\zeta_0)+C_2Bi(\zeta_0) = 0 \tag{9}$

\begin{matrix} (10) & C_{1} A i (ζ_{a}) + C_{2} B i (ζ_{a}) = 0 \end{matrix}

$C_1Ai(\zeta_a)+C_2Bi(\zeta_a) = 0 \tag{10}$

$\psi_{even}$ :

\begin{matrix} (11) & C_{1} A i^{'} (ζ_{0}) + C_{2} B i^{'} (ζ_{0}) = 0, \end{matrix}

$C_1Ai'(\zeta_0)+C_2Bi'(\zeta_0) = 0, \tag{11}$

\begin{matrix} (12) & C_{1} A i (ζ_{a}) + C_{2} B i (ζ_{a}) = 0. \end{matrix}

$C_1Ai(\zeta_a)+C_2Bi(\zeta_a) = 0. \tag{12}$

Mi idea propuesta sería resolver por el determinante cero de las ecuaciones lineales homogéneas, pero esto me obligaría a una solución numérica. Me gustaría encontrar las energías en términos de los ceros de las funciones de Airy. ¿Ideas?

Sofía

Confío en que conoces el artículo Ecuación de Airy en Wikipedia. El punto

x = a

$x=a$ Donde quieras

ψ = 0

$\psi=0$ , cae en

z = Q (1 - a / a_{0})

$z=Q(1-a/a_0)$ . te dara la razon

C_{2} / C_{1}

$C_2/C_1$ . Pero, atención que como

x

$x$ disminuye,

z

$z$ aumenta Puedes ver cómo se ve la región.

z > 0

$z>0$ en los gráficos del artículo. Te interesará requerir también eso

ψ

$\psi$ o su derivada, sea cero en

x = 0

$x=0$ es decir

z = Q

$z=Q$ , que está a la izquierda de

z = Q (1 - a / a_{0})

$z = Q(1-a/a_0)$ . No parece que en esta región obtendrá otro cero o un máximo (o mínimo) para

ψ (z)

$\psi(z)$ .(Continúo)

Sofía

En general, un sistema de 2 ecuaciones homogéneas. con 2 variables, puede ser incompatible. Lo que pudo salvar la situación fue el valor de

E

$E$ , que determina el valor de

a_{0}

$a_0$ . Pero, de nuevo veo un problema en el hecho de que los valores de

z

$z$ caer en la región

z > 0

$z>0$ . Me parece que podrías haber obtenido soluciones de tu ecuación incluyendo la condición de simetría o antisimetría, si

z

$z$ tomó valores en la región

z < 0

$z<0$ donde las funciones

A i

$Ai$ y

B i

$Bi$ oscilar. Pero con

z > 0

$z>0$ Soy bastante escéptico.

Respuestas (2)

Barrera triangular en pozo de potencial infinito

Confío en que conoces el artículo Ecuación de Airy en Wikipedia. El punto $x=a$ Donde quieras $\psi=0$ , cae en $z=Q(1-a/a_0)$ . te dara la razon $C_2/C_1$ . Pero, atención que como $x$ disminuye, $z$ aumenta Puedes ver cómo se ve la región. $z>0$ en los gráficos del artículo. Te interesará requerir también eso $\psi$ o su derivada, sea cero en $x=0$ es decir $z=Q$ , que está a la izquierda de $z = Q(1-a/a_0)$ . No parece que en esta región obtendrá otro cero o un máximo (o mínimo) para $\psi(z)$ .(Continúo)
En general, un sistema de 2 ecuaciones homogéneas. con 2 variables, puede ser incompatible. Lo que pudo salvar la situación fue el valor de $E$ , que determina el valor de $a_0$ . Pero, de nuevo veo un problema en el hecho de que los valores de $z$ caer en la región $z>0$ . Me parece que podrías haber obtenido soluciones de tu ecuación incluyendo la condición de simetría o antisimetría, si $z$ tomó valores en la región $z<0$ donde las funciones $Ai$ y $Bi$ oscilar. Pero con $z>0$ Soy bastante escéptico.

Lobo solitario · Answer 1

De hecho, no hay forma de evitar tener que resolver este problema numéricamente. Partiendo del método determinante publicado originalmente, quizás un enfoque alternativo aquí sería resolver el sistema usando solo la energía. Comenzamos con la forma completa de nuestros puntos de interés tomando como ejemplo las funciones de onda impares:

z (0) = X_{0} a (- \frac{mi}{V_{0}} + 1)

$z(0) = x_0a\left(-\frac{E}{V_0}+1\right)$

z (a) = X_{0} a (- \frac{mi}{V_{0}}) .

$z(a) = x_0a\left(-\frac{E}{V_0}\right).$ yo denoto

α_{i}

$\alpha_i$ y

β_{i}

$\beta_i$ como el

i

$i$ los ceros de

A i (z)

$Ai(z)$ y

B i (z)

$Bi(z)$ respectivamente. Igualmente

α_{i}^{'}

$\alpha'_i$ y

β_{i}^{'}

$\beta'_i$ los ceros de las derivadas. También

x_{0} \equiv {[\frac{2 m V_{0}}{ℏ^{2} a}]}^{1 / 3}

$x_0 \equiv \left[\frac{2mV_0}{\hbar^2a}\right]^{1/3}$ - Se editó la notación de la publicación original :(

En primer lugar, sabemos que $E>V_{min}$ y por lo tanto $E>0$ . Por lo tanto, vemos que $z(0)>z(a)$ . Ahora, el primer cero de cualquiera $Ai(z)$ o $Bi(z)$ debe ocurrir en $z<0$ . Para un valor apropiado de $E$ , podemos ver que si los ceros de las funciones de Airy difieren en $x_0a$ , entonces nuestra condición se cumpliría para una sola energía. Trabajando con las funciones de Airy del primer tipo, podemos imponer la condición

α_{i} = X_{0} a (- \frac{mi}{V_{0}})

$\alpha_i = x_0a\left(-\frac{E}{V_0}\right)$ o

mi = - \frac{V_{0}}{X_{0} a} α_{i} .

$E = -\frac{V_0}{x_0a}\alpha_i.$ El criterio sobre el segundo cero es entonces

α_{j} = X_{0} a + α_{i} .

$\alpha_j = x_0a+\alpha_i.$ Podríamos recorrer numéricamente todos los ceros de la función de Airy y para aquellos con una separación de

α_{j} - α_{i} = X_{0} a

$\alpha_j-\alpha_i=x_0a$ entonces tendríamos una energía correspondiente de

mi = - \frac{V_{0}}{X_{0} a} α_{i} .

$E = -\frac{V_0}{x_0a}\alpha_i.$ Aplicando el mismo concepto a las funciones de onda pares e impares tenemos:

ψ_{mi v mi norte} (z) = C_{1} A i (z); mi = - \frac{V_{0}}{X_{0} a} α_{i}; α_{j}^{'} - α_{i} = X_{0} a

$\psi_{even}(z) = C_1Ai(z);\quad E = -\frac{V_0}{x_0a}\alpha_i;\quad\alpha'_j -\alpha_i= x_0a$

ψ_{o d d} (z) = C_{2} A i (z); mi = - \frac{V_{0}}{X_{0} a} α_{i}; α_{j} - α_{i} = X_{0} a

$\psi_{odd}(z) = C_2Ai(z);\quad E = -\frac{V_0}{x_0a}\alpha_i;\quad\alpha_j -\alpha_i= x_0a$

ψ_{mi v mi norte} (z) = C_{3} B i (z); mi = - \frac{V_{0}}{X_{0} a} β_{i}; β_{j}^{'} - β_{i} = X_{0} a

$\psi_{even}(z) = C_3Bi(z);\quad E = -\frac{V_0}{x_0a}\beta_i;\quad\beta'_j -\beta_i= x_0a$

ψ_{o d d} (z) = C_{4} B i (z); mi = - \frac{V_{0}}{X_{0} a} β_{i}; β_{j} - β_{i} = X_{0} a

$\psi_{odd}(z) = C_4Bi(z);\quad E = -\frac{V_0}{x_0a}\beta_i;\quad\beta_j -\beta_i= x_0a$ donde la tercera columna denota la condición que deben cumplir nuestros ceros,

C_{i}

$C_i$ es la constante de normalización apropiada para cada función de onda, y

z \equiv {[\frac{2 metro V_{0}}{ℏ^{2} a}]}^{1 / 3} (a_{0} - X) = X_{0} (a_{0} - X); a_{0} \equiv [a - \frac{a}{V_{0}} mi] .

$z\equiv \left[\frac{2mV_0}{\hbar^2a}\right]^{1/3}(a_0-x)=x_0(a_0-x);\quad a_0 \equiv \left[a-\frac{a}{V_0}E\right].$ Al observar un gráfico de la función de Airy, podemos ver que en

z ≪ 0

$z\ll 0$ la ``longitud de onda'' es muy pequeña, por lo que debería haber un gran número de posibles ceros que satisfagan nuestros criterios. De la misma manera, en este rango de

z

$z$ , nuestras energías serán muy grandes y tenemos la apariencia del pozo cuadrado infinito. Gracias Sofia y Ali Moh por los útiles comentarios.

Ali Moh · Answer 2

Ali Moh

Lo que pides es imposible. Los valores propios de energía están dados por los ceros del determinante (como supuso) y no pueden relacionarse con los ceros de la función de aire.

A i (ζ_{a}) B i (ζ_{0}) - A i (ζ_{0}) B i (ζ_{a}) = 0

$Ai(\zeta_a)Bi(\zeta_0)-Ai(\zeta_0)Bi(\zeta_a)=0$ Para la solución impar (y con derivadas en

A i

$Ai$ para la solución uniforme).

También tenga cuidado, su $z$ no es adimensional como debería ser, por lo que su cambio de variables no es del todo correcto...

¡Vea los comentarios para ver los argumentos físicos que garantizan infinitas soluciones a esta condición!

Sofía

Lamento que no hayas leído mis comentarios. A través del determinante el OP intenta encontrar las constantes

C

$C$ que permiten cumplir las condiciones de contorno. No es seguro si el determinante se puede hacer cero . Sin embargo, si el determinante puede hacerse cero, a partir del valor

a_{0}

$a_0$ para el cual el determinante se vuelve cero, uno puede encontrar la energía

E

$E$ .

Ali Moh

Leí tu comentario pero no estoy de acuerdo con él. El determinante siempre se puede hacer cero, la energía se puede cambiar continuamente para satisfacer esta condición. Una variable con una condición. Pero mi garantía proviene principalmente de la física, ¡es imposible que no haya muchos valores propios de energía! porque este es un pozo de potencial con una altura infinita, por lo que para energías lo suficientemente altas, la función de onda será en realidad ciega a la protuberancia triangular y sabemos en ese caso que hay un número infinito de valores propios discretos de energía

Ali Moh

Así que no puedo decir con certeza si estos valores propios serán comparables a

V_{0}

$V_0$ (la altura de la protuberancia), pero puedo garantizar a partir del argumento físico anterior que existen al menos estados propios con

E >> V_{0}

$E>>V_0$ .. Más aún, me parece muy poco probable que los valores propios de energía bajos no existan

Ali Moh

Una forma equivalente es notar el comportamiento trigonométrico asintótico de las funciones aéreas, lo que valida la intuición física.

Sofía

No hay necesidad de

E >> V_{0}

$E >> V_0$ , me parece suficiente

E > V_{0}

$E>V_0$ . el problema es por

E < V_{0}

$E < V_0$ . Estás mirando el determinante y yo estoy mirando cómo se ven las funciones de onda en la región.

z > 0

$z > 0$ .

Sofía

cual asintotica? El soporte de la función de onda es finito.

Ali Moh

Entiendes que

V (x) \to \infty

$V(x)\rightarrow\infty$ por

| x | > a

$|x|>a$ , ¿Correcto? así que cualquiera

E > 0

$E>0$ representa un estado ligado expresable en términos de la superposición lineal de funciones aéreas. Así que todo lo que digo es que EL DETERMINANTE ESTÁ GARANTIZADO PARA TENER SOLUCIONES, al menos para

E >> V_{0}

$E>>V_0$ ... No entiendo qué tiene de especial

E < V_{0}

$E<V_0$ que dices que hay un problema? olvidarse de

z

$z$ , dibuje el potencial como una función de

x

$x$ y pensar en funciones de onda de estado ligado

Sofía

Estás tratando de convencerme de que puede haber una solución para

E > V_{0}

$E>V_0$ allí donde es fácil. que tiene de especial

E < E_{0}

$E<E_0$ es que en este caso es difícil. Y es difícil precisamente porque el comportamiento en la región

z > 0

$z>0$ . Creo que me expliqué. De todos modos, dejo aquí la argumentación.

Lobo solitario

En cuanto al cambio de variables que se editaron en mi post, no creo que sean correctos. Basado en lo que tenía antes:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} = \frac{d^{2}}{d z^{2}} {[\frac{2 m V_{0}}{ℏ^{2} a}]}^{2 / 3}

$\frac{d^2}{dx^2} = \frac{d^2}{dz^2}\left[\frac{2mV_0}{\hbar^2a}\right]^{2/3}$ , dónde

z \equiv {[\frac{2 m V_{0}}{ℏ^{2} a}]}^{1 / 3} (a_{0} - x)

$z\equiv\left[\frac{2mV_0}{\hbar^2a}\right]^{1/3}(a_0-x)$

Ali Moh

@Sofia lo siento en este momento, no puedo entender lo que dices. También en lo que respecta al comportamiento asintótico, está claro que quise decir

a_{0} \to - \infty

$a_0\rightarrow-\infty$ , entonces, ¿qué significa "el soporte de la función de onda es finito"?

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Sofía

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