¿Podemos permitir términos no invariantes de calibre en una teoría de calibre?

Los términos de variante de calibre en la acción surgen en dos casos diferentes:

1) Cuando queremos cuantizar la teoría de calibre, siempre necesitamos arreglar el calibre. Para fijar correctamente el calibre (lo que implica la reducción del número de configuraciones de los campos de calibre sobre los que integramos) tenemos que modificar la acción introduciendo fantasmas, los campos con norma indefinida en el espacio de Hilbert. En el caso de las teorías no abelianas (y en el caso de las abelianas, cuando imponemos la condición de fijación de calibre no lineal en el campo de calibre), la acción resultante no es invariante de calibre, al menos bajo transformaciones de calibre "habituales". . Sin embargo, en lugar de esta simetría "habitual", surge otra simetría que realiza la invariancia de calibre: la llamada simetría BRST. La acción resultante es BRST-invariante,

2) En ciertas teorías (teorías de calibre quirales) estas identidades se rompen por la llamada anomalía de calibre. La anomalía está codificada en la acción efectiva de 3 puntos, que contiene la información sobre el diagrama triangular con corrientes quirales de fermiones que lo atraviesan; de hecho, es exacto en un bucle. Genera la corriente de calibre anómala.$J^{\mu}$conservación,

$$\partial_{\mu}J^{\mu} = A(x), \quad \text{where } A(x) \ \text{is the anomaly functional}$$ Aunque la anomalía funcional es local (es decir, es la integral del polinomio de derivadas en el espacio de cantidad de movimiento), la acción efectiva $\Gamma$generando la anomalía, $$\tag 1 \delta_{\epsilon}\Gamma = -\int A(x)\cdot \epsilon ,$$ no es local, por lo que no puede agregar un contratérmino que coincida con la anomalía sin romper la localidad de la teoría.

3) Si la teoría de calibre inicial está libre de anomalías (es decir, invariante de calibre), pero hay una cancelación de anomalía de calibre no trivial entre diferentes fermiones, entonces, después de integrar algunos de estos fermiones, la acción efectiva correspondiente debe contener el calibre fijo -términos variantes para preservar la invariancia de norma. En la literatura, estos términos se denominan términos de Wess-Zumino. ¡En teorías consistentes de calibre invariante, son locales! Esto se debe a que, por lo general, estas teorías incluyen el sector escalar que se interpreta como sector de campos de Goldstone. Podría servir como el sector similar a Higgs asociado con el mecanismo de Higgs, o ser las partículas físicas como el octeto de mesón pseudo-escalar. Resulta que el polo de la acción efectiva no local es "absorbido" por los Goldstones$\varphi$, y en lugar de la acción no local tenemos términos como

$$\tag 2 \Gamma_{WZ} \simeq \int d^{4}x \varphi (x) A(x)$$ Bajo la transformación de norma tenemos $\varphi(x) \to \varphi(x) +\epsilon$, por lo que la variación de calibre de $(2)$reproduce $(1)$.

Hablando ingenuamente, un lagrangiano de invariante de calibre en una teoría cuántica de campos (QFT) no puede tener ningún invariante que no sea de calibre porque la presencia de dicho término haría que la teoría no sea renormalizable. Es por eso que una de nuestras teorías más conocidas, la electrodinámica cuántica (QED), solo tiene términos invariantes de calibre.

Ese fue el pensamiento de la mayoría de los teóricos del campo cuántico hasta finales de la década de 1960. El descubrimiento de la idea de grupo renormalizable (RG) en QFT ha llevado a un cambio de actitud. La idea de RG también nos ayudó a comprender por qué la renormalización funciona en una QFT y por qué es perfectamente correcto restar 2 cantidades infinitas para obtener un resultado finito.

Una idea estrechamente asociada a RG es la teoría del campo efectivo. La teoría de campos efectivos es una forma de reformular una QFT dada de modo que se aplique un corte a la escala de energía o momento de la teoría, manteniendo solo los términos renormalizables. A pesar de la presencia de un punto de corte, es posible recuperar el límite continuo de la teoría. Todos los términos no renormalizables de la teoría se suprimen mediante potencias crecientes de la relación entre la energía de corte y la energía de Planck. Esta idea surgió del trabajo de RG de Wilson en 1974 y fue desarrollada por Weinberg en una serie de artículos de 1975 a 1990.

La idea de la teoría de campo efectiva ayuda a explicar por qué QED tiene solo 3 términos a baja energía y los 3 términos son invariantes de calibre y la teoría es completamente renormalizable. ¿Por qué la naturaleza sería tan amable? La respuesta radica en el hecho de que, en realidad, esta teoría contiene un número infinito de términos no renormalizables, incluido un número infinito de términos invariantes sin calibre. Todos estos términos se suprimen a baja energía como se describe en el párrafo anterior.

Entonces, para responder finalmente a su pregunta, sí, un Lagrangiano para un QFT dado puede tener un invariante sin calibre y, por lo tanto, un término no renormalizable, pero una formulación de teoría efectiva de esta teoría suprimiría dicho término y prácticamente no contribuiría a la final. cantidad calculada por tal teoría. ¡Pero tales términos nos están esperando mientras probamos escalas de energía cercanas a la escala de Planck!