Ayuda con la convergencia de una secuencia recursiva

Definimos una secuencia de números reales { X norte } en forma recursiva donde X 0 = 0 y

X norte = X norte − 1 2 + 2 3
para norte ≥ 1.

Necesitamos demostrar que esta sucesión converge y calcular límite norte → ∞ X norte .

Creo que sé cómo hacer la segunda parte, la parte del límite.
Suponer que límite norte → ∞ X norte = L . Entonces L = L 2 + 2 3 y encontramos la solución para L (las posibles soluciones son L = 1 o L = 2 ).

Pero claro, todo esto depende de la primera parte, que muestra la convergencia de la sucesión, y no sé cómo empezar con esta sucesión en particular.
Todo lo que puedo ver es que X 0 < X 1 , eso 2 3 es un límite inferior de la secuencia y que la secuencia aumenta lentamente (evidentemente, en algún punto la secuencia aumenta tan poco que tiene un límite superior en L = 1 o 2 , más probablemente 2 ).

Agradecería alguna sugerencia de como solucionarlo. ¡Gracias!

Respuestas (3)

Está claro que ∀ norte ∈ norte , X norte > 0.

Probemos que la sucesión es creciente.
Para cualquier norte ≥ 2 es

X norte + 1 − X norte = ( X norte − X norte − 1 ) ( X norte + X norte − 1 ) 3
De ahí la diferencia ( X norte + 1 − X norte ) tiene signo constante, que es positivo porque X 1 > X 0 . La secuencia es creciente.

Ahora, X 0 < 1. Por inducción, de X norte < 1 nosotros deducimos

X norte + 1 < 1 + 2 3 = 1.

La sucesión es creciente y está acotada superiormente por 1.

Un argumento inductivo simple muestra X norte < 1 para todos norte . Además, tenga en cuenta que

X norte + 1 − X norte = X norte 2 + 2 3 − X norte = ( X norte − 1 ) ( X norte − 2 ) 3 > 0
De este modo, { X i } es una secuencia creciente acotada y, por lo tanto, converge.

Como pista, trate de mostrar que

  • 0 ≤ X norte < 1 para cualquier norte ;
  • X norte + 1 > X norte para cualquier norte .

Demostrar las afirmaciones anteriores por inducción sobre norte .

La parte creciente: Cuando n=1, entonces X 1 = 2 / 3 > X 0 = 0 . Sea n=k y supongamos X k < X k + 1 . Entonces X k + 1 = ( X k 2 + 2 ) 3 < X k + 2 = ( X k + 1 2 + 2 ) 3 por hipótesis inductiva ( X k < X k + 1 ), ¿bien?
Si eso es correcto.
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