Argumento a favor de la conformidad teórica cuántica de la teoría de N=2N=2\cal{N}=2 super-Chern-Simon en 2+12+12+1 dimensiones

El argumento habitual de por qué la acción de Chern-Simons es exactamente conforme es que la acción es invariante de calibre solo si la constante de acoplamiento, o el nivel de Chern-Simons$k$(que no ha incluido en su Lagrangiano) tiene un valor entero. Si la teoría no fuera conforme, habría una función beta distinta de cero que haría que el acoplamiento dependiera continuamente de la escala de renormalización.$\Lambda$. Pero el entero$k$no puede ser una función continua de$\Lambda$, y por lo tanto la función beta tiene que desaparecer. Este argumento no depende de la supersimetría y, por lo tanto, es igualmente válido para el$\mathcal{N}=2$caso en su pregunta.

En cuanto a la extensión a$\mathcal{N}=3$: Si no recuerdo mal, debe agregar dos multipletes quirales$Q$y$\tilde{Q}$en representaciones conjugadas del grupo gauge y con un término cinético más un superpotencial de la forma que das (algo así como$W = \frac{1}{k} (\tilde{Q}T^aQ) (\tilde{Q}T^aQ)$). Por$\mathcal{N}=3$supersimetría, el acoplamiento es el mismo que el nivel de Chern-Simons y, por lo tanto, la teoría es nuevamente conforme. Desafortunadamente, no conozco ninguna buena referencia que proporcione una introducción general a esta teoría. Para algunas aplicaciones recientes, véanse, por ejemplo, artículos de Gaiotto y Yin (arXiv:0704.3740) y Aharony, Bergman, Jafferis y Maldacena (arXiv:0806.1218). Estas referencias también contienen discusiones sobre cómo el$\mathcal{N}=3$La teoría de Chern-Simons aparece como un punto fijo conforme a partir de$\mathcal{N}=2$o$3$Teoría de la materia de Chern-Simons o Yang-Mills-Chern-Simons.