APS ηη\eta-invariante y spin-Ising TQFT

Question

APS ηη\eta-invariante y spin-Ising TQFT

Física
modelo-ising
anomalías cuánticas
teoría del campo conforme
aisladores-topologicos
teoría topológica del campo

Bot feudalista libertario

Estoy interesado en la relación entre el Atiyah-Patodi-Singer- $\eta$ Teoría cuántica de campo invariante y topológica de espín. En el artículo Gapped Boundary Phases of Topological Insulators via Weak Coupling de Seiberg y Witten, presentaron dicha relación entre los dos.

Deja el $3+1$ variedad dimensional $X$ Sea el volumen mundial de un aislador topológico. su límite $W$ es un $2+1$ variedad dimensional. Dejar $\chi$ sea un fermión de Dirac sin masa en la variedad límite $W$ . Luego, integrando el fermión de frontera

\int_{W} d^{3} X i \bar{x} D / x,

$\int_{W}d^{3}x\,i\bar{\chi}D \!\!\!\!/\,\chi\,,$

dónde $D_{\mu}=\partial_{\mu}+iA_{\mu}$ , uno tiene la función de partición

Z = | det (i D) | {mi}^{- i π η (A) / 2} .

$\mathcal{Z}=|\det(iD)|e^{-i\pi\eta(A)/2}.$

Hasta ahora, esta es solo la anomalía de paridad estándar en dimensiones impares.

En la página 35, los autores afirmaron que el factor $\Phi=e^{-i\pi\eta/2}$ es en realidad la función de partición de una teoría de campo cuántica topológica, llamada TQFT de spin-Ising. El nombre proviene del hecho de que está relacionado con el modelo 2D Ising de CFT. Los autores explicaron que esto se debe al teorema de Free-Dai .

Realmente no entiendo mucho del artículo del teorema de Freed-Dai debido a sus matemáticas pesadas. Pero desde mi entendimiento, está diciendo que el $\eta$ invariante es una especie de invariante topológica e invariante de cobordismo, que satisface los axiomas de pegado y cirugía de TQFT. Así, el factor $\Phi=e^{-i\pi\eta/2}$ puede tratarse como la función de partición de algunos TQFT.

Ahora la pregunta es por qué este TQFT es el llamado TQFT spin-Ising. Los autores afirman que la función de partición del TQFT spin-Ising debería ser de módulo $1$ porque el $\mathbb{Z}_{2}$ anillo quiral generado por el campo $\psi$ (del modelo 2D Ising $\left\{1,\sigma,\psi\right\}$ ) tiene una sola representación.

Pregunta 1: ¿Por qué el hecho de que el álgebra quiral tenga una representación hace que su función de partición sea de módulo $1$ ?

Luego, los autores mostraron un ejemplo, tomando la variedad $W$ ser $S^{2}\times S^{1}$ , que la función de partición de la TQFT de spin-Ising correspondiente es $\pm 1$ , que es de hecho una fase. Luego, por el teorema de Freed-Dai, afirmaron que, en general, la función de partición de un TQFT de spin-Ising debería ser $\Phi=e^{-i\pi\eta/2}$ .

Realmente no entiendo mucho del papel del teorema de Freed-Dai . ¿Alguien podría aclararme cómo se debe aplicar ese teorema a este caso?

Los autores explicaron a continuación que si $W$ tiene un limite $\Sigma$ , entonces el producto de la integral de trayectoria del fermión quiral $\psi$ en $\Sigma$ y el factor $\Phi$ es suave y bien definido debido al teorema de Freed-Dai.

Sin embargo, en nuestro caso, la variedad $W$ en sí mismo es el límite de la $3+1$ -colector $X$ , y entonces $W$ no tiene límite en absoluto. ¿Cómo se debe entender la explicación proporcionada por los autores?

Respuestas (2)

APS ηη\eta-invariante y spin-Ising TQFT

ryan thorngren · Answer 1

Para 3-variedades que son fibraciones circulares de 2-variedades, esto se deduce del hecho de que cualquier función de partición puede calcularse como la traza de un operador en el espacio de Hilbert de la 2-variedad. Sin embargo, de manera más general, necesitamos entender cómo dividir nuestras 3 variedades y calcular la función de partición de las piezas. Usando una división de Heegaard, por ejemplo, podemos expresar la función de partición en cualquier 3-variedad como un producto interno entre dos estados en el espacio de Hilbert de una superficie. Los estados están asociados a la integral de trayectoria en los dos mangos a ambos lados de la división, y se puede demostrar que están normalizados considerando la integral de trayectoria en el doble $M \cup \bar M$ de cualquier mango-cuerpo, que es igual a 1 por positividad de reflexión. Dado que el espacio de estados de Hilbert es unidimensional en la superficie de separación, se deduce que la función de partición es una fase. Puede pensar en el teorema de Dai-Freed como una representación explícita de los estados asociados a estos cuerpos de mango. Esta es una versión de la correspondencia habitual TQFT-RCFT donde los bloques conformes de RCFT dan estados de TQFT.
Hay formulaciones equivalentes de este $\eta$ invariante que son útiles para diferentes propósitos. Es cierto que puedes usar el teorema del índice APS para expresar $e^{i\eta/2}$ de una 3-variedad cerrada como integral sobre una 4-variedad delimitadora. Esto es útil para mostrar sus propiedades de cuantificación. Por otro lado, $e^{i\eta/2}$ tiene una definición intrínsecamente tridimensional que es la asimetría espectral del operador de Dirac asociado. Dai-Freed le dice lo que sucede cuando intenta considerar esta definición en una variedad de 3 con límite. No puede usar la definición de 4 dimensiones en este caso (que es manifiestamente invariante de calibre), por lo que hay espacio para cierta no invariancia de calibre.

Lorenz Mayer · Answer 2

Recapitularé el argumento de los autores. No puedo, sin embargo, probar sus declaraciones. Espero que esto ayude de todos modos.

Los autores escriben

Recapitulemos el argumento. Tome un múltiple de tres $W$ con límite $\Sigma$ . Entonces, dicen, el teorema de Dai-Freed declara que lo siguiente está bien definido:

Exp (- i π η (W) / 2) Z_{ψ} (Σ),

$\exp(-i \pi \eta(W) /2) Z_\psi(\Sigma) \ ,$

dónde $Z_\psi(\Sigma)$ es la función de partición de la Ising spin-CFT en el 2-manifold $\Sigma$ . Esto significa que, para el caso especial de que $\Sigma = \{ \}$ , el colector vacío, $\exp(-i \pi \eta(W) /2)$ está bien definido y está asociado al spin-CFT de Ising. Esta es una declaración puramente sobre el $\eta$ -invariante de una triple variedad cerrada $W$ y por lo tanto se mantiene independientemente de si $W$ es un límite o no.

Para las preguntas sobre las representaciones: No me parece que sea eso lo que están alegando. Comienzan con algunos de los $\eta$ -invariante, y luego muestran cómo esto se relaciona con este spin-CFT.

¿Crees que la partición $\mathcal{Z}_{\psi}(\Sigma)$ está relacionado con el sector holomorfo del fermión libre de Majorana en $2D$ ? Si esto fuera cierto, entonces creo $\mathcal{Z}_{\psi}(\Sigma)$ es solo $\det(i\bar{\partial})$ . La motivación detrás de mi declaración es que descubrí que el modelo de Ising parece una suma sobre las estructuras de espín pares del fermión libre de Majonara en un toro.
Tenga en cuenta que $Z_\psi(\Sigma)$ es la función de partición en una variedad de espín bidimensional. Es decir, la estructura de espín es parte de los datos utilizados para definir el modelo.
Sí me di cuenta de eso. Los autores dijeron que el modelo de Ising suma las estructuras de espín del modelo de espín-Ising.
No, el Ising CFT (sin espín) es donde uno suma las estructuras de espín. Para el spin Ising CFT, la estructura de spin es fija.
Oh, cierto, leí mal tu comentario. Bueno, pero entonces no entiendo la pregunta. Los autores dicen que uno tiene que multiplicar la función de partición de un fermión quiral 2d a la $\eta$ invariante. Este fermión quiral es Majorana (lo mencionan en el texto).
Oh, no me di cuenta de que ya dijeron que es weyl-majorana fermion. Creo que debería ser fermión weyl-majorana libre. ¿Crees que es verdad?

APS ηη\eta-invariante y spin-Ising TQFT

Bot feudalista libertario

Respuestas (2)

ryan thorngren

Lorenz Mayer

Bot feudalista libertario

Lorenz Mayer

Bot feudalista libertario

Lorenz Mayer

Bot feudalista libertario

Lorenz Mayer

Bot feudalista libertario

Lorenz Mayer

Modelo crítico de ising 2d

¿Cómo calcular la fase Zak a partir de funciones de onda numéricas con fase arbitraria?

¿Es el Ising CFT diferente del Majorana CFT?

Anomalía quiral en semimetal de Weyl

Teoría del vacío theta de Yang-Mills y violación del número bariónico

¿Cuál es la relación entre los diferentes tipos de teorías cuánticas de campos?

Definición explícita del operador de energía en el modelo de Ising

¿Versión Fermion de la suma de Gauss-Milgram?

Operadores compuestos en teoría topológica/conforme de campos

Álgebra de Virasoro vs Álgebra de Witt