Aproximación de Boussinesq para la ecuación de Navier Stokes - discrepancia

En la ecuación de Navier Stokes:

ρ 0 ( ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v ) = − ∇ pag + m ∇ 2 v + F ^

Incluí la variación de temperatura de la densidad según la aproximación de Boussinesq como

F ^ = ρ 0 ( 1 − α Δ T ) gramo k ^ .

Elegir una escala de tiempo viscosa t ∗ = t d 2 / v dónde d es una medida de longitud (en este caso, espesor de película) y longitud y velocidad no dimensionales con:

X ∗ = X / d y v ∗ = v v / d , la ecuación de Navier Stokes se modifica a:

ρ 0 ( v 2 d 3 ∂ v ∂ t + v 2 d 3 v ⋅ ∇ v ) = − 1 d ∇ pag + m v d 3 ∇ 2 v + ρ 0 ( 1 − α Δ T ) gramo k ^ .

Dividiendo todo por ρ 0 v 2 d 3 , mientras se da cuenta de que la presión adimensional cae como ρ 0 v 2 d 2 , Yo obtengo:

∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = − ∇ pag + ∇ 2 v + gramo d 3 v ( 1 − α Δ T ) gramo k ^

Dividiendo aún más estos términos para simplificar:

∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = − ∇ pag + ∇ 2 v + gramo d 3 v 2 k ^ − gramo d 3 v 2 α Δ T k ^

Reconocer los siguientes números adimensionales:

  1. número galileo, GRAMO a = gramo d 3 v 2
  2. número de Grashoff, GRAMO r = gramo d 3 v 2 α Δ T = R a PAG r

Dónde R a es el número de Rayleigh y PAG r es el número de Prandtl.

Reescribo mi ecuación de Navier Stokes ahora no dimensional como:

∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = − ∇ ( pag − GRAMO a z k ^ + GRAMO r z k ^ ) + ∇ 2 v

Dónde z es la coordenada z y k ^ es la unidad normal en el z dirección.

¿Este enfoque es defectuoso ya que cuando comparo esto con la página 2 de este , la ecuación 4 en Bestehorn et al. y las ecuaciones 5 a 7 en Ybarra et al. , todos tienen una diferencia de temperatura multiplicada por el número Rayleight que no tiene sentido.

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Respuestas (1)

tu uso de Δ T te está confundiendo, como lo tienes, no es la diferencia de temperatura entre la parte superior e inferior de la película, sino la diferencia entre la temperatura T en un punto dado en el fluido, y una temperatura de referencia T 0 en el que la densidad del fluido es ρ 0 . Reemplazar Δ T con T − T 0 primero. Luego necesita no dimensionalizar la temperatura, que en su primera referencia se hace como θ = T − ( T t o pag + T b o t ) / 2 T t o pag − T b o t , y tomando T 0 = ( T t o pag + T b o t ) / 2 , entonces θ = T − T 0 Δ T , dónde Δ T ahora ES la diferencia entre arriba y abajo.

Puedes reescribir la última ecuación como T − T 0 = θ Δ T , y ahí tienes tu temperatura perdida...

¿Por qué debo no dimensionalizar la temperatura? El general no tenue. parámetro, a saber, el número de grashoff simplemente se cae. no es Δ T = T bot − T arriba ?
No, Δ T = T − T 0 , y T es otra variable de su problema que puede cambiar de un punto a otro.
Sí, ahora entiendo lo que dices. Sin embargo, en una mayor introspección, estoy convencido de que esta escala de temperatura, tal como se realizó en las referencias que incluí, está destinada a la convección de Rayleigh-Benard donde hay una placa fría y una placa caliente. En mi caso, con una película de superficie libre, supongo que tal descamación no aguantará bien.
Ya sea con un muro delimitador o una superficie libre, puede asumir la suposición de una conducción perfecta, de modo que T = T t o pag . En lo que tiene efecto la superficie libre es en las condiciones de contorno para las velocidades del fluido. Obtenga una copia de uno de los libros de Drazin (ya sea 'Estabilidad hidrodinámica' o 'Introducción a la estabilidad hidrodinámica') y lea el capítulo sobre la convección de Rayleigh-Benard. Mi memoria es borrosa, pero creo que el único caso analíticamente solucionable de las ecuaciones linealizadas es cuando las superficies libres se consideran tanto arriba como abajo, lo cual no es muy realista.
puedo ir con T = T arriba con una superficie libre? Supongo que tendría que ir con T arriba = T interfaz con una superficie/interfaz libre. Sin embargo, la convección de Rayleigh Benard no es aplicable a películas ultrafinas, que es lo que me interesa, donde pueden manifestarse inestabilidades de onda larga. Tenía la impresión de que sería bastante terrible hacer la aproximación de boussinesq para casos susceptibles a inestabilidades de onda larga. Que es lo que estaba tratando de probar a través del NSE modificado.
No estoy seguro de las sutilezas de su problema en particular, pero necesita averiguar qué condición de contorno tiene sentido para ese límite superior. ¿Tiene un vacío arriba y, por lo tanto, el calor se pierde o se gana solo por radiación? ¿O un fluido mucho menos denso (aire) a cierta temperatura? A menos que el intercambio de calor en ese límite sea de capital importancia, probablemente desee comenzar con el más simple T = T t o pag acercarse.
Ese es un buen punto. Tengo una película líquida que se evapora en su propio vapor o aire. Ahora, obviamente, uno podría pensar que esto podría estar limitado por difusión, pero no en caso de que la columna de aire/vapor sea lo suficientemente grande. En cuanto a la importancia del intercambio de calor en la interfaz, sí, eso se puede modelar a través de la condición límite de Robin que equipara la conducción de calor a la interfaz con la convección de calor desde la interfaz a través de un número de biot. Por eso sigo pensando que mi T arriba debe ser la temperatura de interfaz ya que no hay pared superior.
En cuanto a la aproximación de Boussinesq, se trata básicamente de asumir que la densidad es constante en todo momento, además del efecto de flotabilidad. Así que no veo cómo el hecho de que la película sea delgada haría una diferencia en eso. ¿Tiene alguna referencia para las inestabilidades de onda larga de películas súper delgadas? ¡Me encantaría aprender sobre eso!
Referencias... ¡oh toneladas! ¡ Este resultado de búsqueda debería ponerlo bien en su camino! :PEn cuanto a las películas realmente delgadas, cuanto más delgada sea la película, menor será la ρ 0 gramo β Δ T h 3 v k k ^ plazo tendría efectos en el procedimiento. En otras palabras, la flotabilidad se anularía con películas extremadamente delgadas... ya sea que tenga o no el Boussinesq aprox.
La aproximación de Boussinesq es una forma, para mí, de involucrar las inestabilidades impulsadas por la flotabilidad, si las hay, en la dinámica de la evaporación de la película líquida.
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