Aplicando el teorema de Bayes a la Bella Durmiente

La dificultad aquí parece ser que para hacer probabilidad, necesitas saber de qué espacio estás muestreando, y por construcción, La Bella Durmiente requiere que prestes atención a ese espacio. Hay dos espacios "intuitivos", y si mezclas ambos, terminas confundido. Niel de Beaudrap ya lo ha dicho, pero dada la cantidad de confusión expresada sobre este "problema", me gustaría intentar ser más explícito:

Lo que "realmente" sucede es esto:

p=1/2    heads    awaken
p=1/2    tails    awaken    awaken

Lo divertido de esto es que obtienes dos resultados de una de las ramas. Esto sucede con cierta frecuencia en probabilidad y estadística, y no es ningún problema, pero debe decidir qué hacer al respecto.

El problema de la Bella Durmiente se formula típicamente como la señorita Bella esencialmente realizando un experimento cada vez que se despierta. (Tal vez le des una galleta si tiene razón). Así que la mitad de las veces obtienes un experimento, la mitad de las veces obtienes dos, y por construcción en el problema se supone que tienes que agrupar todos estos. (Si tuvieras un ejército de Bellas Durmientes y estuvieras contando todas las respuestas, esto es lo que querrías hacer).

Así que ahora tenemos tres awakens en nuestro espacio muestral:

heads-awaken   tails-awaken-1   tails-awaken-2

que son todos idénticos. Así que si hacemos su cálculo:

P(H|awaken) = P(awaken|H)*P(H)/P(awaken) = 1*(1/3)/1 = 1/3

Espera, ¿qué fue eso?

P(H) = 1/3

Eso es bastante extraño, pero mira, no tuvimos que pasar por el cálculo para encontrar eso. Tenemos un espacio de muestra que, por construcción, tiene caras solo una vez de cada tres (¡inteligentemente construido a partir de un proceso que tiene un 50% de caras!). Así que esto es exactamente correcto: la probabilidad previa de cara es 1/3.

Y Miss Beauty y todos los demás estarían de acuerdo en esto antes de que se llevara a cabo el experimento (al menos si estuvieran al tanto de sus estadísticas).

Alternativamente, si la formulación es tal que en realidad hay una diferencia implícita entre los diferentes despertares (por ejemplo, porque el último es parte de la experiencia permanente de Miss Beauty, o porque si ella tiene razón una vez y una vez está equivocada en la rama de las colas, querrás solo dale media galleta, y no querrás romper las galletas, así que solo le preguntas una de las dos veces en la rama de las colas), entonces ella (y todos los demás) quizás deberían hacer un cálculo diferente:

p=1/2    heads    awaken
p=1/2    tails
     p=1/4        awaken
     p=1/4                   awaken

La lógica aquí es que si estás en la rama de las colas y te despiertas, el 50 % del tiempo estarás en la primera instancia y el 50 % del tiempo estarás en la segunda. En este caso, puedes calcular cosas como

p(H|awaken#1) = p(awaken#1|H)*p(H)/p(awaken#1) = 1*(1/2)/(3/4) = 2/3

lo que significa que si sabes que estás en medio del experimento y es la primera vez que te despiertas, hay 2/3 de posibilidades de que estés en la rama de cabezas. ( p(H|awaken#2) = 0, y p(H) = 1/2por la construcción de este espacio muestral.)

En realidad, este es un marco más flexible de usar: es tan cierto como el otro; es solo una formulación diferente adecuada para calcular cosas diferentes. La clave es reconocer cómo el espacio muestral se mapea sobre lo que realmente pudo haber sucedido; si su espacio de muestra no coincide con la pregunta que está haciendo, obtendrá la respuesta incorrecta.

Por ejemplo, si Miss Beauty quiere maximizar la cantidad de galletas que recibe y obtiene una por respuesta correcta, razonará:

// I can pick only one option: H or T
// I will gain no information later so I may as well pick now

E(cookies) = sum(p(cookies)*#cookies)
If I pick H:
  p=1/2  right!         1 cookie
  p=1/2  wrong, wrong!  no cookie
  E(cookies) = (1/2 * 1  +  1/2 * 0) = (1/2 + 0) = 1/2
If I pick T:
  p=1/2  wrong!         no cookie
  p=1/2  right, right!  2 cookies
  E(cookies) = (1/2 * 0 + 1/2 * 2) = (0 + 1) = 1

El doble de la recompensa si escojo T, aunque lo piense P(T) = 0.5.

El verdadero problema surge cuando se mezclan los dos espacios muestrales. Primero, uno piensa que, por supuesto, los tres eventos son indistinguibles por construcción, por lo que p(H|awaken)= 1/3. Y, por supuesto , una moneda es justa, entonces p(H)= 1/2. Y luego p(awaken|H)= 1 y p(awaken)=y 1/3 != 1/2y... ¿qué diablos?

Conoce el espacio muestral, apégate a él y la probabilidad tendrá sentido, incluso si eres la Bella Durmiente.

[Nota: vea también mi transcripción de chat con Xoxarap.]

1. Ya sea que la moneda haya sido lanzada o no, la probabilidad es solo un modelo de cómo espera que resulten o hayan resultado los eventos, según la información que tiene. Sin tener información sobre el resultado de la moneda, no importa si ya se ha lanzado o no. El modelo probabilístico que asigna probabilidades en función de diferentes cantidades de información sigue siendo el mismo, por lo que es agnóstico del tiempo, del mismo modo que las ecuaciones de Newton predicen el mismo comportamiento para una manzana que se deja caer desde una altura de 1 m en condiciones similares tanto para ayer y mañana

2. Las probabilidades se asignan mejor en relación con la experiencia del mundo. En el problema de la Bella Durmiente, la experiencia del mundo de la princesa está sesgada por la droga para dormir. Aunque un observador no drogado puede sentir que la moneda es justa, la experiencia de la Bella Durmiente sobre las frecuencias de la moneda es diferente.

   El problema es el hecho de que la Bella Durmiente experimenta los eventos de headsy tailscon diferentes frecuencias en relación con un observador de control. Sin información adicional, la Bella Durmiente podría asignar racionalmente diferentes probabilidades a los resultados de la moneda, porque estamos sesgando deliberadamente sus experiencias. Además, si bien la Bella Durmiente sabe que estamos sesgando sus experiencias, esto no afecta las experiencias que tendrá como resultado del sesgo. Ella podría inferir racionalmente que percibimos que la moneda es justa, y también que ella percibiría que la moneda es injusta. Por lo tanto, incluso antes de participar en el experimento, podría asignar una probabilidad previa de 1/3 a heads, al menos para sus propios fines.

   La Bella Durmiente simplemente experimenta un conjunto probabilístico diferente al nuestro y, por lo tanto, obtiene una frecuencia diferente, de una manera no totalmente diferente a cómo los diferentes observadores que se mueven a diferentes velocidades percibirán los sonidos en diferentes tonos debido al efecto Doppler. Y de manera similar a los tonos cambiantes de los sonidos, podemos obtener un modelo probabilístico unificador, que no asigna una probabilidad definida al evento heads, pero que describe qué probabilidad cada agente podría atribuir racionalmente al evento dependiendo de a qué conjunto estarán sujetas sus experiencias conscientes. a.

Supongo que el tercero no cree eso P(Heads|Sleeping Beauty waking up at all)=1/3(aunque esto está sugerido/implicado por su argumento adicional), sino más bien eso the/an awake Sleeping Beauty's P(Heads|being awake at the/a moment of evaluation) should be 1/3. Eso implicaría que la premisa de su argumento (más) es falsa ("Es decir, [...]"). Por lo tanto, todo lo que sigue puede ser válido , pero no es sólido .