¿El teorema de Cox asume implícitamente las tres leyes clásicas del pensamiento?

Leí sobre el teorema de Cox hace mucho tiempo en " Teoría de la probabilidad de Jaynes: La lógica de la ciencia ". Se utilizó para justificar la llamada interpretación "lógica" de la probabilidad. Mi impresión fue que el teorema asume un mundo existente donde cada proposición es verdadera o falsa, y nuestra certeza limitada sobre este mundo existente está representada por un sistema isomorfo al cálculo de la teoría de la probabilidad.

Así que supongo que las tres leyes clásicas del pensamiento

  • ley de identidad
  • ley de no contradicción
  • ley del medio excluido

se supone implícitamente que se cumplen en la prueba del teorema, aun así nunca se mencionan en los supuestos.

Sin embargo, el cálculo resultante parece ser bastante robusto, incluso en los casos en que se violan las leyes clásicas del pensamiento. Tomemos por ejemplo la hipótesis del continuo. Sabemos que no es ni válida ni inválida, pero aún podríamos modelar nuestro conocimiento sobre su validez usando la probabilidad previa 0.5. No parece que seremos llevados a conclusiones equivocadas debido a esto. Sin embargo, lo que parece ser cierto es que no hemos logrado representar con precisión nuestro conocimiento real, y que podríamos pasar por alto algunas conclusiones importantes que podríamos haber deducido de este conocimiento.

Pero, ¿cuán engañoso es realmente el teorema de Cox? ¿Existen investigaciones de situaciones en las que falla espectacularmente? Y en caso afirmativo, ¿existen modificaciones del cálculo utilizado que manejen mejor estas situaciones?

No es razonable asignar una probabilidad a la hipótesis del continuo.
@RonMaimon Por supuesto que no. Pero una probabilidad previa es diferente de una probabilidad real . Simplemente significa representar una "certeza" o "sesgo" subjetivo. Por ejemplo, estoy bastante inclinado a creer que "P no es igual a NP", por lo que podría asignar una probabilidad previa de 0,99 a esta proposición. Admito que estos números no significan mucho, especialmente cuando se asignan a proposiciones en las que es poco probable que reciba más información que pueda cambiar mi sesgo. Me dio la impresión de que el cálculo es bastante robusto, incluso en los casos en que se violan las leyes clásicas del pensamiento.
Es significativo asignar una probabilidad a P!=NP. No tiene sentido asignar una probabilidad a CH. La primera es una pregunta con una respuesta independiente del modelo, la segunda no. Es como preguntar "¿cuál es la probabilidad de que los grupos sean abelianos?" No hay probabilidad de eso, porque algunos grupos lo son y otros no.
@RonMaimon Asignaría una probabilidad previa de 10 ^ -100 a la proposición de que (todos) los grupos son abelianos. Es posible que simplemente no sepa que la validez de esa proposición depende del modelo. Quizás P!=NP no fue un buen ejemplo. Al menos, Jaynes parecía argumentar la aplicación de probabilidades previas incluso en contextos en los que ni la lógica clásica ni las probabilidades frecuentistas eran apropiadas. Excluir proposiciones que carecen de significado -basadas en juicios subjetivos- suena como una buena idea. Pero ¿qué pasa con las proposiciones sin sentido que se deslizan a través de ese juicio subjetivo?
@Ron: Es posible que pueda expresar la probabilidad de que CH pueda derivarse de ZF o algo así, ¿no? Supongo que esto es lo que Thomas quiso decir con que es "verdadero".
@Xodarap: Ya veo. Sí, antes de Cohen, se podría haber dado una probabilidad de que ZF implique CH (aunque hubiera sido baja teniendo en cuenta lo que ya se sabía en 1960). Pero sabemos que la respuesta hoy es no, por lo que ya no tiene sentido tener una probabilidad distinta de cero (a menos que cuentes la probabilidad increíblemente improbable de que todos los que entienden intuitivamente a Cohen simplemente hayan cometido un error, que es tan probable como que todos los grupos sean abeliano).
Las tres "leyes del pensamiento", tomadas como fórmulas (p->p), ~(p->^~p), (pv ~p) a menudo NO se asumen implícitamente como axiomas en un sistema lógico clásico. Puedes encontrar muchos sistemas axiomáticos donde no se toman como axiomas, y también puedes encontrar sistemas de deducción natural que no tienen axiomas. También puede encontrar sistemas de deducción natural que no tienen p|-p como regla de inferencia primitiva.

Respuestas (3)

Creo que no entiendo completamente tu ejemplo sobre CH (me parece que podrías equivocarte bastante suponiendo que CH es cierto con una probabilidad de 1/2...) pero te animo a que consultes The Philosophical Significance of Cox's teorema _ Destaca algunos dominios en los que se podría decir plausiblemente que el teorema de Cox falla. (Uno de los cuales es, como usted dice, cuando falla la ley del tercero excluido).

Por otro lado, las probabilidades cuánticas como probabilidades bayesianas demuestran un vínculo entre la probabilidad bayesiana y la probabilidad cuántica (un dominio en el que la propiedad distributiva no se cumple ). Entonces, esta idea es bastante sólida, incluso en el extraño mundo de QM.

Gracias por los enlaces. El documento sobre QM en realidad no menciona el teorema de Cox en absoluto. Leí un poco más sobre el teorema de Cox ahora. Incluso existen contraejemplos para casos en los que se cumple la lógica clásica. Mi conclusión es que los principales problemas con este teorema no son de naturaleza filosófica, sino que las suposiciones utilizadas no se establecen de manera suficientemente explícita. La estructura asumida del espacio de proposición es simplemente una parte de las suposiciones, y debe establecerse explícitamente (es decir, si se trata de un σ-álgebra, una red ortomodular o ???). La conjetura de Cox y la probabilidad bayesiana no son idénticas.
@Thomas: Ciertamente no es idéntico, pero uno se usa a menudo para justificar al otro. Estaría de acuerdo con la mayor parte de lo que dijiste, excepto para aclarar que no hay nada malo con el teorema en sí mismo, es solo que las personas pueden usarlo de formas que no están justificadas.

Me parece que aquí hay dos preguntas diferentes: una sobre la confianza en la lógica clásica y la otra sobre el teorema de Cox en la práctica. Este último me parece más adecuado para matemáticos o estadísticos; ciertamente está más allá de mi capacidad de respuesta.

La primera pregunta, sin embargo, es una pregunta propiamente filosófica.

Me parece que el teorema de Cox depende implícitamente de la lógica clásica; pero, de nuevo, también lo es la mayor parte de las matemáticas. Si rechazamos las tres leyes de la lógica clásica, se vuelve extremadamente difícil defender algo racionalmente; sin embargo, no tenemos absolutamente ninguna forma de fundamentarlos, y generalmente nos vemos obligados a tomarlos como axiomáticos.

Ciertamente es posible proponer lógicas no clásicas o desviadas, y hay quienes lo han hecho, pero tienden a tener una aplicabilidad local en el mejor de los casos; la mayoría de la gente cree que la lógica clásica es la más adecuada para las operaciones cotidianas.

Mi conjetura es que la lógica clásica funciona bien siempre que se descuide la interacción entre el mundo existente al que se refieren las proposiciones y el razonamiento lógico, incluidas sus conclusiones. Sin embargo, la teoría de la probabilidad fue inicialmente motivada por el juego, y puede haber una fuerte interacción en este contexto si diferentes jugadores anticipan las acciones de los otros jugadores en base a su supuesto razonamiento lógico. Pero también el mercado de valores muestra tales interacciones, al igual que los efectos placebo en la medicina. Entonces, la teoría clásica de la probabilidad y la estadística normalmente intentan tener cuidado...
Aunque no estoy al tanto de que esto se haga, ciertamente podría hacer un argumento de arranque que rechace la lógica clásica así: comience con la lógica clásica y demuestre que, dada la lógica clásica, el sistema lógico L es válido; encontrar ejemplos donde L es válido pero la lógica clásica falla de alguna manera; probar que bajo circunstancias especiales, sin embargo, L se reduce a la lógica clásica; muestran que la evaluación de la validez de L es tal circunstancia. Entonces, esencialmente, uno habría demostrado que "la lógica clásica dice creer en L y L está de acuerdo", que es lo mejor que uno puede manejar.

El objetivo declarado de Cox era construir una lógica de inferencia plausible . Esto debía considerarse como una extensión de la lógica estándar (clásica). Uno de los axiomas de Cox exige efectivamente que cualquier lógica de inferencia plausible sea compatible con la lógica estándar. (En la exposición del teorema de Van Horn esto se llama R2 ). Como se ha mencionado en los comentarios, Cox no es tan claro acerca de lo que se supone exactamente (especialmente, por ejemplo, sobre el espacio de las proposiciones), pero en la medida en que Cox aclara sus suposiciones, su compromiso con la lógica clásica es claro.

Entonces, la respuesta a la pregunta es no, no hay nada implícito en la suposición de lógica clásica de Cox.

¿El teorema de Cox asume implícitamente las tres leyes clásicas del pensamiento?
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