Estimación para diferencias de integral exponencial

Para$x>0$, dejar$F(x) := e^x f(x)$. Entonces

$$F'(x) = e^x \left[ {f(x) + \frac{{e^{ - 2x} }}{{2x}} - \frac{{e^{ - x} }}{x}} \right] = - e^x \int_x^{2x} {\frac{{e^{ - t} }}{{t^2 }}dt} < 0$$ donde la segunda igualdad se sigue por integración por partes. De este modo $$0 = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } (e^t f(t)) < e^x f(x) < \mathop {\lim }\limits_{t \to 0 + } (e^t f(t)) = \log 2$$ para cualquier$x>0$. El límite en el infinito sigue de http://dlmf.nist.gov/6.12.E1 y la definición de$f(x)$.

Anexo: Por un simple cambio de variables de integración ($t=x(s+1)$)

$$e^x f(x) = \int_0^1 {\frac{{e^{ - xs} }}{{s + 1}}ds} ,$$ lo que lleva a la misma afirmación (convergencia dominada por el uso).

También podemos mostrar$f(x)/e^{-x}\to 0$en$\infty$utilizando L´Hopital. Dejar$F$sea ​​una antiderivada de$e^{-t}/t.$Entonces

$$\frac{f(x)}{e^{-x}} = \frac{F(2x)-F(x)}{e^{-x}}.$$

Aplicando LHR, consideramos

$$\frac{2F'(2x)-F'(x)}{-e^{-x}} = \frac{e^{-2x}/x-e^{-x}/x}{-e^{-x}}.$$

Este$\to 0$en$\infty.$