Atrapado en la comprensión de la aproximación de Stirling.

Question

Atrapado en la comprensión de la aproximación de Stirling.

asintóticos
integración
Matemáticas
aproximación
teoría de probabilidad

hola_dios

El artículo es de http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.384.1465&rep=rep1&type=pdf

Entiendo (1) - (17) ecuaciones y las verifiqué. Pero cuando lees sobre

La presente aproximación se expresa en potencias de $\beta = \alpha - 1$ ; si poderes de $\alpha$ se prefieren, se puede hacer un cambio preliminar de variables $(x = e^u)$ , entonces

\begin{matrix} (18) & Γ (α) = \int_{- \infty}^{\infty} {tu}^{a} Exp (- {mi}^{tu}) d tu \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_{-\infty}^{\infty}u^a\exp(-e^u)du \tag{18}$ Estoy confundido. si dejar

x = e^{u}

$x= e^u$ , entonces

u = l n x

$u=lnx$ . Para

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α - 1} e^{- x} d x

$\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx$ ,

0 < x < \infty

$0 < x < \infty$ , entonces

- \infty < u < \infty

$-\infty<u<\infty$ .

Γ (α) = \int_{- \infty}^{\infty} (e^{u})^{α - 1} e^{- e^{u}} d (e^{u}) = \int_{- \infty}^{\infty} (e^{u})^{α - 1} e^{- e^{u}} e^{u} d u = \int_{- \infty}^{\infty} (e^{u})^{α} e x p (e^{- u}) d u

$\Gamma(\alpha) = \int_{-\infty}^{\infty}(e^{u})^{\alpha-1}e^{-e^{u}}d(e^u) =\int_{-\infty}^{\infty}(e^{u})^{\alpha-1}e^{-e^{u}}e^udu = \int_{-\infty}^{\infty}(e^{u})^{\alpha}exp({e^{-u}})du$ .

¿Qué tiene de malo mi derivación?

Y lo que es más,

Un refinamiento del argumento conduce al desarrollo asintótico habitual,

\begin{matrix} (19) & Γ_{1} (β) = 1 + \frac{1}{12 β} + . . . \end{matrix}

$\Gamma_1(\beta) = 1 + \frac{1}{12\beta} + ... \tag{19}$

Yo también estoy confundido con esta expresión. Cualquier ayuda será apreciada, muchas gracias.

usuario371838

¿Dónde está la fórmula en el PDF?

Giuseppe Negro

Estoy de acuerdo contigo en el cambio de variable en la integral.

hola_dios

@Rohan Lo siento, pegué una URL incorrecta, la actualicé.

hola_dios

@GiuseppeNegro Gracias por tu respuesta.

Respuestas (1)

Atrapado en la comprensión de la aproximación de Stirling.

Estoy de acuerdo contigo en el cambio de variable en la integral.

antonio vargas · Answer 1

Con respecto a tu "Qué es más", mira el lema después de la ecuación $(12)$ . Ese lema es suficiente para obtener el primer término de la expansión asintótica de la función Gamma. Luego el papel dice:

Un refinamiento del argumento conduce al desarrollo asintótico habitual,
$\begin{matrix} (19) & Γ_{1} (β) = 1 + \frac{1}{12 β} + \dots . \end{matrix}$ $\Gamma_1(\beta) = 1 + \frac{1}{12\beta} + \cdots. \tag{19}$

Lo que el autor quiere decir aquí es que al ser más cuidadoso con el argumento utilizado para probar el lema, los términos de orden superior de la asintótica (piense en estos como correcciones de orden superior) dados en la fórmula $(19)$ Puede ser obtenido.

El autor no probó la ecuación. $(19)$ en el periódico (ni pretendían hacerlo).

Atrapado en la comprensión de la aproximación de Stirling.

hola_dios

usuario371838

Giuseppe Negro

hola_dios

hola_dios

Respuestas (1)

antonio vargas

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