Integración del método de Laplace

Dejar$s=x(t-1)^n$. entonces obtenemos$t = 1 + \left(\dfrac{s}x\right)^{1/n}$. Obtenemos$dt = \dfrac1{x^{1/n}} \dfrac{s^{1/n-1}}n ds$. Por eso,

$$I_n(x) = \int_1^2 \ln t \cdot e^{-x(t-1)^n}dt = \int_0^x \ln \left(1+\left(\dfrac{s}x \right)^{1/n}\right) e^{-s} \dfrac1{x^{1/n}} \dfrac{s^{1/n-1}}n ds$$ Por eso, $$I_n(x) = \dfrac1{nx^{1/n}} \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k+1}}{x^{k/n}} \int_0^x s^{k/n} s^{1/n-1} e^{-s}ds$$ Por lo tanto, como $x \to \infty$y manteniendo solo el término de orden principal, obtenemos $$I_n(x) \sim \dfrac1{nx^{1/n}} \dfrac1{x^{1/n}} \int_0^{\infty} s^{1/n} s^{1/n-1} e^{-s}ds = \dfrac1{nx^{2/n}}\int_0^{\infty} s^{2/n-1}e^{-s}ds$$