Aproximación de la integral de exponencial de funciones hiperbólicas

Sustituto$\theta=\operatorname{arcosh}(s)$. Entonces

$$\begin{align*} I(x) &= \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-xs}}{\sqrt{s^2-1}} \, \mathrm{d}s \\ &= \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-xs}}{s} \, \mathrm{d}s - \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{\sqrt{s^2-1}} \right) e^{-xs} \, \mathrm{d}s. \end{align*}$$

En cuanto a la primera integral, sustituyendo$u = xs$y notando que$-\gamma = \int_{0}^{\infty} e^{-u}\log u \, \mathrm{d}u$,

$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-xs}}{s} \, \mathrm{d}s &= \int_{x}^{\infty} \frac{e^{-u}}{u} \, \mathrm{d}u \tag{$u=xs$}\\ &= \left[e^{-u}\log u\right]_{x}^{\infty} + \int_{x}^{\infty} e^{-u}\log u \, \mathrm{d}u \\ &= -e^{-x}\log x - \gamma - \int_{0}^{x} e^{-u}\log u \, \mathrm{d}u \\ &= -\log x - \gamma + \mathcal{O}(x\log x). \end{align*}$$

En cuanto a la segunda integral, por el teorema de la convergencia dominada obtenemos

$$\begin{align*} \lim_{x \to 0^+} \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{\sqrt{s^2-1}} \right) e^{-xs} \, \mathrm{d}s &= \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{\sqrt{s^2-1}} \right) \, \mathrm{d}s \\ &= \lim_{R\to\infty} \int_{1}^{R} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{\sqrt{s^2-1}} \right) \, \mathrm{d}s \\ &= \lim_{R\to\infty} \left[ \log s - \log\left(s + \sqrt{s^2-1}\right) \right]_{1}^{R} \\ &= -\log 2. \end{align*}$$

Combinando todos juntos, obtenemos

$$I(x) = -\log(x/2) - \gamma + o(1)$$

como$x \to 0^+$.

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De acuerdo con la fórmula 10.31.1 en DLMF,

$$K_0(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{- \log(z/2) - \gamma + H_n}{(n!)^2} \left(\frac{z}{2}\right)^{2n}$$