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Clases de homotopía en la integral de trayectoria

Siguiendo la respuesta a esta pregunta sobre el papel de las clases de homotopía en las integrales de trayectoria, me parece razonable que, al calcular el propagador usando la formulación de integral de trayectoria, primero deberíamos hacer la integral por separado para trayectorias dentro de la misma clase de homotopía de la configuración espacio, y luego sumar estas contribuciones con algunos factores de peso. Matemáticamente esto sería algo como

dónde$\pi_{1}(X)$es el grupo fundamental del espacio de configuración$X$,$K^{\alpha}$es la amplitud parcial asociada con las contribuciones de todos los caminos dentro de la clase de homotopía$\alpha$, y el$\chi(\alpha)$quedan algunos pesos por determinar.

Ahora, en su artículo de 1970 , Laidlaw y DeWitt pretenden demostrar que los pesos$\chi$debe formar una representación unitaria escalar del grupo fundamental$\pi_{1}(X)$. La prueba no es demasiado larga, pero no la incluiré aquí en aras de la brevedad.

Grupo fundamental del espacio de configuración

Para$n$partículas indistinguibles con interacciones duras en$d$dimensiones, el espacio de configuración es

dónde$S_{n}$es el grupo de permutación, cociente porque las partículas son indistinguibles, y$Y(n,d)$es el conjunto de todos$n$-tuplas de vectores en$\mathbb{R}^{d}$tal que no coincidan dos vectores, es decir

Es bien sabido que el grupo fundamental de este espacio de configuración es diferente en$d=2$en comparación con dimensiones más altas, a saber

dónde$B_{n}$es el grupo de la trenza.

Estadísticas anyónicas

Siguiendo la afirmación de Laidlaw y DeWitt de que los pesos deben formar una representación unitaria escalar de$\pi_{1}(X)$, notamos eso$S_{n}$tiene sólo dos representaciones unidimensionales (unitarias): la representación trivial$\chi(\alpha) = 1$, y la representación del signo$\chi(\alpha) = \pm 1$dependiendo del signo de la permutación$\alpha$. El primer caso corresponde a los bosones, mientras que el segundo corresponde a los fermiones. Por lo tanto para$d>2$estas son las únicas posibilidades.

Sin embargo, por$d=2$, tenemos$\pi_{1}(X) = B_{n}$, que tiene toda una familia de representaciones unitarias unidimensionales parametrizadas por un solo ángulo$\theta$como

dónde$W(\alpha)$es el número de bobinado de la trenza$\alpha$. Esto demuestra que en 2 dimensiones podemos obtener anyones abelianos , es decir, partículas que adquieren una fase$\theta \in [0,2\pi]$a medida que se mueven uno alrededor del otro.

Sin embargo, también es bien sabido que en$d=2$también podemos obtener anyons no abelianos , lo que en cierto sentido corresponde a tomar los pesos como elementos de una representación no conmutativa de$\pi_{1}(X) = B_{n}$.

Soy consciente de cómo obtener estadísticas no abelianas para un sistema de cuasipartículas con cierta degeneración de energía al observar la fase Berry no abeliana. Sin embargo, me parece que el resultado de Laidlaw y DeWitt de que los pesos deben ser de una representación unidimensional del grupo fundamental nos limita a las estadísticas abelianas en el contexto de la integral de trayectoria.

Pregunta

¿Cómo aparecen las estadísticas de intercambio no abelianas en la formulación de la integral de trayectoria? ¿Es esto consistente con el resultado de Laidlaw y DeWitt?