Hermiticidad del operador de Dirac γμDμγμDμ\gamma^{\mu}D_{\mu} y expansión en modos propios

La matriz (valorada por el operador)$\not D=\gamma\cdot D$es anti-hermítica con respecto al producto interno

$$\langle v,u\rangle:=\int_{\mathbb R^d} \bar v(x)u(x)\ \mathrm dx\tag1$$ dónde $$\bar v(x):= v^\dagger(x)\gamma^0\tag2$$

De hecho, escribe

$$\not D=\not\!\partial-i\not A\tag3$$

Es claro que el segundo factor satisface

$$\begin{equation} \begin{aligned} \overline{i\not A}&=-i\overline{\not A}\\ &=-i\not A \end{aligned}\tag4 \end{equation}$$ donde hemos utilizado el hecho de que $\gamma^\mu$satisface $$\gamma^0\gamma^{\mu\dagger}\gamma^0=\gamma^\mu\tag5$$ y eso $A^\mu$es hermético.

Por otra parte, el primer factor de$(3)$satisface

$$\begin{aligned} \langle v,\not\!\partial u\rangle&=\int_{\mathbb R^d} \bar v(x)\not\!\partial u(x)\ \mathrm dx\\ &=-\int_{\mathbb R^d} \bar v(x)\overset{\leftarrow}{\not\!\partial}u(x)\ \mathrm dx\\ &=-\int_{\mathbb R^d} \overline{(\bar{\not\!\partial }v)}(x)u(x)\ \mathrm dx\\ &=-\langle \not\!\partial v,u\rangle \end{aligned}\tag6$$ donde en la primera igualdad integramos por partes y en la última usamos $(5)$.

De esto aprendemos que$\not D$satisface$\overline{\not D}=-\not D$, que es equivalente a la afirmación de que$\not D$es anti-ermitano con respecto a$\langle\cdot,\cdot\rangle$, como se afirma.

Tenga en cuenta que esta noción de anti-hermiticidad garantiza que$i\not D$es diagonalizable, con valores propios reales y vectores propios ortogonales, por las razones habituales (teorema espectral, etc.):

$$\tag7 i\not Dv_i=\lambda_i v_i\qquad\Rightarrow\qquad\begin{cases}\lambda_i\in\mathbb R\\\langle v_i,v_j\rangle\propto\delta_{ij}\end{cases}$$