"Los operadores con valores esperados de vacío no triviales tienen que absorber los modos cero asociados a la anomalía".

Una teoría con un operador de Dirac (generalizado) puede resultar anómala. Por ejemplo, el sector fantasma de la cuerda bosónica:

$$S = \int d^2z [ b \partial c + c.c.]$$ tiene una anomalía gravitacional que da lugar a un índice de 3, es decir, número de$c$modos cero excede el número de$b$modos cero por 3. Consulte Friedan, Martinec y Schenker .

Como podemos pensar en la medida integral del camino del fermión$\mathcal{D} \psi$como un producto de las medidas de Grassmann de sus modos individuales, entonces en el caso de un modo cero, terminamos con una contribución de$d\psi_0$en la integral de trayectoria donde$\psi_0$es el modo cero. Esto se debe a que el modo cero no aparece en el componente de Grasmann del determinante de Berezin.

Dado que la integral de Grassmann del modo cero es

$$\int d\psi_0 = 0$$ Mientras que, para los modos distintos de cero $$\int \psi_i d\psi_i = 1,$$ la función de partición desaparece a menos que insertemos operadores que tengan suficientes componentes de modo cero para obtener contribuciones de la forma: $$\int \psi_0 d\psi_0 = 1,$$ para todos los modos cero. Existen restricciones en la selección de los operadores insertados, como la invariancia BRST, pero una vez que se eligen estos operadores, "absorben" los modos cero y permiten una función de partición que no desaparece.

Esto no es solo un truco matemático para obtener una función de partición no nula de algún modelo abstracto. Las funciones de partición con los operadores insertados deberían corresponder realmente a sistemas físicos.

Witten (página 39) utiliza inserciones en un modelo superconductor topológico de fermiones de Majorana para evaluar su función de partición, que puede entenderse como una consecuencia de anomalías gravitacionales.

Hay muchas explicaciones de la interpretación física de las inserciones del operador: el estado de vacío asintótico "fuera" de una teoría anómala tiene una carga de número fantasma de modo cero debido al flujo espectral. Consulte Friedan, Martinec y Shenker, página 111. Las inserciones simplemente expresan este hecho.

Puede que Sonneschein dé la explicación más profunda y clara de la inserción del operador :

El espacio vectorial de los modos cero se puede considerar como una cuantificación (geométrica) de un espacio de módulos$\mathcal{M}$. En el caso de una teoría de campo topológica, este espacio de módulos es todo el espacio de fase del sistema, pero incluso si la teoría no es topológica, los modos cero constituyen un sector topológico. Los modos cero del fermión pueden interpretarse como los vectores cotangentes en este espacio de módulos. Ya que solo$dim(\mathcal{M})$las formas de rango tienen una integral no nula sobre$\mathcal{M}$, por lo tanto, el índice dicta la dimensión de este espacio de módulos:

$$Index(D) = dim(\mathcal{M})$$ Dado que, en la integral de trayectoria, necesitamos integrar sobre todas las configuraciones posibles, necesitamos integrar en el espacio de módulos, necesitamos insertar un$dim(\mathcal{M})$forma de rango.