Fondo

Aquí trabajamos en la teoría euclidiana en todo momento. También prologo esto con un descargo de responsabilidad de que he sido un poco laxo con los índices, pero espero que el mensaje siga siendo claro.

Las identidades de Ward en su forma más amplia posible son en realidad una declaración sobre cualquier cambio infinitesimal en los campos, no necesariamente simetrías de la acción o de otra manera:

$$\delta\phi=\epsilon\cdot f\qquad[\delta\phi_i=\epsilon^r(x^\mu) f_r^i(\phi, \partial\phi)] \\Z=\int\mathcal D\phi'\exp\left(-S'+\int J\cdot\phi'\right) \\=\int\mathcal D\phi\left(1+\epsilon^r\mathrm{Tr}\frac{\delta f_r}{\delta\phi_j}\right)\exp\left(-S-\delta_\epsilon S+\int J\cdot(\phi+\epsilon\cdot f)\right)$$ $$\\\Rightarrow\left\langle-\delta_\epsilon S+\int \epsilon J\cdot f\right\rangle=-\left\langle\epsilon^r\mathrm{Tr}\frac{\delta f_r}{\delta\phi_j}\right\rangle\tag{1}$$ Algunas personas llaman a esto la identidad Ward, pero es demasiado general para ser de uso inmediato. Tenga en cuenta que$J$no es el análogo de la corriente clásica de Noether: es simplemente una fuente de fondo. Permítanme enfatizar nuevamente: esto es válido para todas las transformaciones.$\delta_\epsilon$.

Como probablemente hayas visto en la derivación del primer teorema de Noether, cualquier simetría de la acción debe tener

$$\delta_\epsilon S=\int\delta_\epsilon\mathcal L=-\int\epsilon\cdot\ \partial_\mu\left(f\cdot\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)=-\int\epsilon\cdot\ \partial_\mu j^\mu$$ con las condiciones de contorno apropiadas en$\epsilon(x)$. Aquí$j^\mu(x^\mu)$es la corriente de Noether clásicamente conservada.

Ahora, para una simetría en la teoría cuántica, esto significa que

$$Z=\int\mathcal D\phi'\exp\left(-S'+\int J\cdot\phi'\right) \\=\int\mathcal D\phi\left(1+\epsilon^r\mathrm{Tr}\frac{\delta f_r}{\delta\phi_j}\right)\exp\left(-S+\int J\cdot\phi\right)\left(1-\int\epsilon\cdot(\partial_\mu j^\mu-J\cdot f)\right)$$ $$\Rightarrow\partial_\mu\langle j^\mu\rangle-\left\langle J\cdot f\right\rangle=\left\langle\mathrm{Tr}\frac{\delta f^i}{\delta\phi_j}\right\rangle\tag{2}$$

Esto es lo que suele llamarse la identidad de Ward. El lado derecho de la ecuación denota la anomalía de la medida integral de la ruta, y es cero en el caso de una transformación no anómala (también es una expresión muy formal, y en realidad requiere un conjunto de herramientas bastante grande para evaluar en la mayoría de los casos) . También recuerda que la fuente$J$está literalmente ahí para que podamos jugar con él, por lo que podemos tomar derivados con respecto a él antes de establecerlo en cero para derivar las identidades de Ward para los correladores: tomando una transformación no anómala por simplicidad,

$$0=\int\mathcal D\phi\exp\left(-S+\int J\cdot\phi\right)\left(\partial_\mu j^\mu-J\cdot f\right) \\ J=0\Rightarrow\partial_\mu\langle j^\mu\rangle=0 \\-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}Z\bigg|_{J=0}=0\Rightarrow\partial_\mu \langle j^\mu(x)\phi(x_1)\rangle=\delta(x-x_1)\langle f(\phi)\rangle$$

y así sucesivamente, para derivar las relaciones entre los correladores.

Otra observación importante es que para simetrías globales lineales, la ecuación$(2)$es equivalente a

$$\epsilon^r\partial_\mu\langle j^\mu\rangle=\delta_\epsilon\Gamma[\varphi]$$ dónde$\Gamma[\varphi]$es la acción efectiva 1PI. Esto también formaliza la idea de "simetrías clásicas que se trasladan a la teoría cuántica": la acción efectiva de 1PI normalmente tendrá las mismas simetrías que la teoría clásica; esta violación se mide por la anomalía. Esto, sin embargo, no funciona para las teorías de calibre, ya que necesitamos medir-fijar la acción bajo la integral de trayectoria. Por supuesto, podría tomar la ruta BRST, pero un método más simple es considerar un tipo diferente de acción efectiva, una en la que los campos de indicador se integren en el fondo, digamos$W[A']$, que discutiré cualitativamente. La variación de este objeto bajo$\delta_\epsilon$da correctamente la anomalía. Finalmente, uno escribe la corriente conservada en presencia de los campos de fondo como $$\frac{\delta W[A]}{\delta A^a_\mu}=\langle J_a^\mu(x)\rangle$$ después de lo cual $$D_\mu\langle J_a^\mu(x)\rangle=\left\langle\mathrm{Tr}\frac{\delta f^i}{\delta\phi_j}\right\rangle$$ es la identidad de Slavnov-Taylor para simetrías de gauge no abelianas con una anomalía.

redux

1. Como se mencionó, las identidades de Ward se mantienen para todas las simetrías de la acción. Entonces, las identidades de Ward-Takahashi también son válidas para las simetrías globales, aunque el truco de "promover" una simetría global a una local (como se hace para usar el teorema de Noether en una teoría de campo clásica) y abandonar la dependencia del espacio-tiempo justo al final es un forma rápida y fácil de derivar la identidad de una teoría dada; esto no califica como una transformación de calibre porque no tomamos el campo de calibre en sí mismo para transformar. También tenga en cuenta que en el caso de que los operadores en la teoría solo cambien a través de un reemplazo$\phi\to\phi'$, entonces las identidades globales de Ward son particularmente simples:$\langle\mathcal O_1(\phi(x_1))\dots\mathcal O_n(\phi(x_n))\rangle=\langle\mathcal O_1(\phi'(x_1))\dots\mathcal O_n(\phi'(x_n))\rangle$
   
   
2. Dado que las identidades de Ward están en términos de correladores exactos, se cumplen todos los órdenes en la teoría de la perturbación: también puede escribir las identidades en términos de la acción efectiva$W[J,\{\Phi\}]$con campos de indicador de fondo$\{\Phi\}$, que genera relaciones entre todas las funciones de Green conectadas.
   
   
3. Sí, esto usa el primer teorema de Noether, como se muestra. Por supuesto,$\partial_\mu j^\mu=0$No implica$\partial_\mu\langle j^\mu\rangle=0$a menos que la medida de la integral de trayectoria sea invariante. Sin embargo, recuerde que incluso las transformaciones locales de los campos que son simetrías de la acción generan una corriente conservada en la capa cuando los parámetros infinitesimales correspondientes$\epsilon^r(x^\mu)$se hacen constantes.
   
   
4. OP ha resumido esto bien ellos mismos: la anomalía mide el alcance de la violación de la identidad de Ward ingenuamente esperada, como también se muestra arriba. Por ejemplo, esperaríamos ingenuamente$\partial_\mu \langle j^\mu_A\rangle=0$para la corriente axial, pero la medida integral de trayectoria se transforma como $$\int\mathcal D\psi\mathcal D\bar\psi\rightarrow\int\mathcal D\psi\mathcal D\bar\psi\exp\left(-\frac{ie^2}{16\pi^2}\int\epsilon \ F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu}\right)$$ y entonces $$\partial_\mu \langle j^\mu_A\rangle=\frac{e^2}{16\pi^2} F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu}$$ que es la anomalía quiral. Este es un ejemplo de una anomalía global, que es completamente inofensiva, pero no completamente inútil: ayuda, por ejemplo, a predecir$\pi^0\to\gamma\gamma$tasa de descomposición. Por otro lado, las anomalías de calibre deben cancelarse; de ​​lo contrario, aproximadamente, la falta de invariancia de calibre evitará que eliminemos los estados de norma negativos mientras tratamos de restringir a un espacio de Hilbert bien definido para nuestros estados. Estas condiciones de cancelación conducen a requisitos de consistencia muy importantes en la teoría; un ejemplo salvaje es determinar los grupos de calibre para el tipo I y las teorías de cuerdas heteróticas.