Anomalía de paridad e invariancia de calibre

En Fermionic Path Integral y Topological Phases , Witten muestra que en$2+1$dimensiones, el fermión de Dirac sin masa libre sufre de anomalía de paridad. Para ser específico, muestra que es imposible cuantificar la teoría que preserva la simetría de paridad clásica y mantiene la invariancia de calibre simultáneamente.

Para empezar, deja$D_{\mu}=\partial_{\mu}+iA_{\mu}$, dónde$A$es algo$U(1)$campo indicador de fondo. Dejar$\left\{\eta_{\mu\nu}\right\}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1)$Sea la métrica del espacio-tiempo. El Lagrangiano del fermión de Dirac viene dado por

$$S[\bar{\psi},\psi;A]=\int d^{3}x\bar{\psi}iD\!\!\! /\,\psi.$$

Clásicamente, esta teoría es calibre invariante bajo

$$A\rightarrow A+d\Lambda,$$ $$\bar{\psi}\rightarrow \bar{\psi}e^{i\Lambda},\quad\psi\rightarrow\psi e^{-i\Lambda},$$

y es invariante bajo una paridad discreta ($\mathbb{Z}_{2}$) simetría, que envía$(t,x,y)$a$(t,x,-y)$, y

$$A_{0}(t,x,y)\rightarrow A^{\mathrm{P}}_{0}(t,x,y)=A_{0}(t,x,-y),$$ $$A_{1}(t,x,y)\rightarrow A^{\mathrm{P}}_{1}(t,x,y)=A_{1}(t,x,-y),$$ $$A_{2}(t,x,y)\rightarrow A^{\mathrm{P}}_{2}(t,x,y)=-A_{2}(t,x,-y),$$ $$\psi(t,x,y)\rightarrow\psi^{\mathrm{P}}(t,x,y)=\gamma^{2}\psi(t,x,-y),$$ $$\bar{\psi}(t,x,y)\rightarrow\bar{\psi}^{\mathrm{P}}(t,x,y)=\bar{\psi}(t,x,-y)\gamma^{2},$$

dónde$\gamma^{0}=\bigg( \begin{matrix} 1&0\\0&-1 \end{matrix} \bigg)$,$\gamma^{1}=\bigg( \begin{matrix} 0&i\\i&0 \end{matrix} \bigg)$,$\gamma^{2}=\bigg( \begin{matrix} 0&1\\-1&0 \end{matrix} \bigg)$.

Así, bajo este$\mathbb{Z}_{2}$transformación, uno tiene

$$\int dt\int dx\int_{-\infty}^{+\infty}dy\bar{\psi}iD\!\!\! /\,\psi$$ $$\rightarrow\int dt\int dx\int_{+\infty}^{-\infty}d(-y)\bar{\psi}(t,x,-y)\gamma^{2}(i\gamma^{0}D_{0}+i\gamma^{1}D_{1}+i\gamma^{2}\partial_{2}+\gamma^{2}A_{2})\gamma^{2}\psi(t,x,-y)$$

dónde$\partial_{2}=\frac{\partial}{\partial y}$.

Así uno tiene,

$$\int dt\int dx\int_{-\infty}^{+\infty}dy\bar{\psi}iD\!\!\! /\,\psi$$ $$\rightarrow\int dt\int dx\int_{-\infty}^{+\infty}dy\bar{\psi}(t,x,-y)(i\gamma^{0}D_{0}+i\gamma^{1}D_{1}-i\gamma^{2}\partial_{2}-\gamma^{2}A_{2})\psi(t,x,-y)$$ $$=\int dt\int dx\int_{-\infty}^{+\infty}dy\bar{\psi}(t,x,-y)(i\gamma^{0}D_{0}+i\gamma^{1}D_{1}+i\gamma^{2}\partial_{-y}-\gamma^{2}A_{2})\psi(t,x,-y)$$ $$=\int dt\int dx\int_{-\infty}^{+\infty}dy\bar{\psi}(t,x,-y)(i\gamma^{0}D_{0}+i\gamma^{1}D_{1}+i\gamma^{2}(\partial_{-y}+iA_{2}))\psi(t,x,-y)$$

reemplazando$-y$por$y$en la integral se tiene

$$\int dt\int dx\int_{-\infty}^{+\infty}dy\bar{\psi}iD\!\!\! /\,\psi$$ $$\rightarrow\int dt\int dx\int_{-\infty}^{+\infty}dy\bar{\psi}(t,x,-y)(i\gamma^{0}D_{0}+i\gamma^{1}D_{1}+i\gamma^{2}(\partial_{-y}+iA_{2}))\psi(t,x,-y)$$ $$=\int dt\int dx\int_{+\infty}^{-\infty}d(-y)\bar{\psi}(t,x,-y)(i\gamma^{0}D_{0}+i\gamma^{1}D_{1}+i\gamma^{2}(\partial_{-y}+iA_{2}))\psi(t,x,-y)$$ $$=\int dt\int dx\int_{-\infty}^{+\infty}d(y)\bar{\psi}(t,x,y)(i\gamma^{0}D_{0}+i\gamma^{1}D_{1}+i\gamma^{2}(\partial_{y}+iA_{2}))\psi(t,x,y)$$ $$=\int dt\int dx\int_{-\infty}^{+\infty}dy\bar{\psi}iD\!\!\! /\,\psi$$

Esto prueba que tiene un clásico.$\mathbb{Z}_{2}$simetría.

Sin embargo, en la cuantificación integral de camino, uno tiene un problema para determinar el signo de la función de partición. Formalmente, la función de partición viene dada por el producto infinito de todos los valores propios del operador de Dirac$iD\!\!\! /\,$, es decir

$$Z[A]=\int\mathcal{D}{\psi}\int\mathcal{D}{\bar{\psi}}\exp\left(i\int d^{3}x\bar{\psi}iD\!\!\!/\,\psi\right)$$ $$=\mathrm{Det}(iD\!\!\! /\,)=\prod_{k}\lambda_{k},$$

dónde$iD\!\!\!/\,\psi_{k}=\lambda_{k}\psi_{k}$. Dado que el operador de Dirac es hermitiano, cada valor propio$\lambda_{k}$es real. Dado que hay infinidad de valores propios positivos y negativos, se encuentra una ambigüedad de signo de la función de partición. Recogiendo un campo de calibre arbitrario$A_{0}$, se puede considerar una transformación de calibre que envía$A_{0}$a$A_{0}^{\Phi}$. Para$s\in[0,1]$, se puede construir un campo de calibre de interpolación$A_{s}$

$$A_{s}=(1-s)A_{0}+sA_{0}^{\Phi}.$$

Si la teoría es invariante de calibre, uno debería esperar que el espectro del operador de Dirac en$s=0$es lo mismo que en$s=1$ya que los dos son calibre equivalente.

Entre$s=0$y$s=1$, puede haber flujo espectral del operador de Dirac en el que algunos valores propios negativos pueden fluir a través de$\lambda=0$al espectro positivo.

Luego, Witten usa una regularización de Pauli-Villars, agregando al Lagrangiano un campo fantasma

$$\mathcal{L}_{\mathrm reg}=\bar{\chi}iD\!\!\!/\,\chi+iM\bar{\chi}\chi$$

de gran masa$M\rightarrow\infty$.

Pregunta 0: ¿Cuál es el propósito del factor?$i$para el término de masa? ¿Por qué no puedo usar masa real?$M\bar{\chi}\chi$para el regulador Pauli-Villars?

Luego, siguiendo el cálculo habitual en Anomalies and Odd Dimensions y Nakahara 13.6.1, se encuentra que la función de partición regularizada es

$$Z[A]=|Z[A]|\exp\left(-i\pi\frac{\eta(A)}{2}\right),$$

dónde$\eta(A)$es el APS eta-invariante de$A$, que en términos generales es el número de valores propios positivos de$A$menos el número de valores propios negativos de$A$. El regulador de Pauli-Villars rompe la invariancia de paridad clásica, por lo que existe una anomalía de paridad para los fermiones de Dirac sin masa en$2+1$dimensiones.

Witten luego afirma que esta función de partición (ecuación 2.20 en el artículo ) está definida satisfactoriamente para todos$A$. Supongo que lo que quiere decir es que la función de partición regularizada es invariante de calibre. Sin embargo, no veo ninguna razón por la cual esta función de partición regularizada sea invariante de calibre y esté bien definida. Por ejemplo, considere el caso cuando un valor propio, digamos$\lambda$, fluye de negativo a positivo bajo una transformación de calibre. Una vez que fluye a través$\lambda=0$, El valor de$\eta(A)$salta por$\pm 2$, y así la partición cambia de signo. Tal cambio de signo es suave si y solo si el número complejo

$$|Z[A]|\exp\left(-i\pi\frac{\eta(A)}{2}\right)$$

traza un camino suave a través$z=0$en el plano complejo$\mathbb{C}$. Solo cuando la función de partición es uniforme se pueden definir funciones de correlación.

Pregunta 1: ¿Cómo sé que no pueden existir situaciones como$|z|$o$\sqrt{z^{2}}$?

Pregunta 2: ¿Cómo veo que el espectro en$A_{0}$es lo mismo que en$A_{0}^{\Phi}$de la expresión de la función de partición regularizada?