¿El fermión sin masa en 2+12+12+1 dimensiones sufre anomalía de calibre?

En Fermion Path Integrals And Topological Phases, Witten mostró que para un fermión de Dirac sin masa en$2+1$dimensiones

$$S[\bar{\psi},\psi]=\int d^{3}x\bar{\psi}iD\!\!\!\!/_{A}\psi,$$

dónde$A$es un$U(1)$campo de indicador de fondo, la función de partición debe ser

$$\mathcal{Z}=|\det(iD\!\!\!\!/_{A})|\exp\left\{-\frac{i\pi\eta(A)}{2}\right\},$$

dónde$\eta(A)$es el APS eta-invariante introducido en Asimetría espectral y Geometría de Riemann . Esta función mide la asimetría del espectro del operador de Dirac. En un lenguaje descuidado,$\eta(A)$es igual al número de modos positivos de$iD\!\!\!\!/_{A}$menos el número de modos negativos de$iD\!\!\!\!/_{A}$.

El factor de fase proviene de la regularización de Pauli-Villars. Para ser específicos, dado que la expresión formal de la función de partición

$$\mathcal{Z}=\prod_{\lambda\in\mathrm{Spec}}\lambda,$$

donde cada uno$\lambda$es un valor propio del operador hermitiano$iD\!\!\!\!/_{A}$, es un producto infinito, el signo global de la función de partición no está definido. Se puede regularizar agregando el Lagrangiano a un regulador de Pauli-Villars

$$\mathcal{L}_{\mathrm{reg}}=\lim_{M\rightarrow\infty}\left(\bar{\chi}iD\!\!\!\!/_{A}\chi+iM\bar{\chi}\chi\right),$$

dónde$\chi$es un escalar fantasma que satisface la ecuación de Dirac. Entonces, usando la fórmula

$$\mathrm{Arg}(zw)=\mathrm{Arg}(z)+\mathrm{Arg}(w)\,\,\,\mathrm{mod}\,\,2\pi$$

uno encuentra que la función de partición regularizada de hecho se convierte en

$$\mathcal{Z}=|\det(iD\!\!\!\!/_{A})|\exp\left\{-\frac{i\pi\eta(A)}{2}\right\}.$$

Sin embargo, todavía hay un problema cuando se realiza una transformación de gran calibre. Bajo una gran transformación de calibre, puede haber un flujo espectral neto del operador de Dirac. Esto se introdujo en Violación de paridad y no invariancia de calibre de la acción de campo de calibre efectivo en tres dimensiones .

Para ser específicos, comencemos desde$A$. Bajo una transformación de gran calibre$\Phi$,$A$se transforma en$A^{\Phi}$. Luego, uno puede interpolar los dos y hacer un campo de calibre

$$A_{s}=(1-s)A+sA^{\Phi},$$

dónde$s\in[0,1]$parametriza el flujo espectral bajo una gran transformación de calibre. Aquí,$A$y$A^{\Phi}$son calibre equivalente.

Por ejemplo, si uno de los modos positivos de$iD\!\!\!\!/_{A}$fluye a través de un modo cero al espectro negativo, entonces$\eta(A)$pasaría de largo$\pm 2$.

Como resultado, el signo de la función de partición cambiaría en consecuencia. Sin embargo, uno esperaría que el espectro en$s=0$es idéntico al espectro en$s=1$ya que los dos están relacionados a través de una transformación de calibre.

La existencia del flujo espectral está garantizada por el teorema del índice APS. El número de modos propios que fluyen a través de$0$es igual a un índice de Dirac$\Delta$en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. es decir, uno ve el$2+1$espacio-tiempo dimensional como el límite de un$3+1$volumen dimensional. En otras palabras, bajo una transformación de calibre grande, la partición se transforma como

$$\mathcal{Z}\rightarrow\mathcal{Z}(-1)^{\Delta}.$$

Sin embargo, no hay una razón obvia por la que el índice en general pueda ser un número par. Esto también se discutió en Anomalías y dimensiones impares .

¿Significa esto que el fermión de Dirac sin masa en$2+1$dimensiones sufren de una anomalía de calibre?