Transformación de paridad para espinores (pinores) en dimensiones espaciotemporales impares

¿Cuál es la ley de transformación para espinores (pinores) bajo paridad en un número impar de dimensiones de espacio-tiempo?

Sé cómo derivar las propiedades de transformación de los espinores (pinores) bajo paridad en un número par de dimensiones del espacio-tiempo. Dejar

$$\eta^{ab} = \mathrm{diag} (1, 1\ldots 1, -1, -1 \ldots -1)$$ dónde están $p$entradas de $1$y $q$entradas de $-1$, y $p+q=n$. Deje que las matrices gamma $\gamma^a$generar el álgebra de Clifford real $\mathrm{Cl}(p,q)$, $$\{ \gamma^a, \gamma^b \} = 2 \eta^{ab}$$
El grupo Pin $\mathrm{Pin}(p,q)$se define como el conjunto de elementos invertibles $S_{\Lambda}$de $\mathrm{Cl}(p,q)$que satisfacen $$S_{\Lambda} \gamma^a S_{\Lambda}^{-1} = {\Lambda^a}_b \gamma^b$$ por algún elemento ${\Lambda^a}_b$del grupo ortogonal $\mathrm{O}(p,q)$, y también $S_{\Lambda}S_{\Lambda}^{\tau} = \pm 1$, donde el superíndice $\tau$denota un operador lineal que invierte el orden de los productos, por ejemplo $(\gamma_0 \gamma_1 \gamma_2)^{\tau} = \gamma_2 \gamma_1 \gamma_0$. Para cada $\Lambda$, hay dos soluciones para $S_{\Lambda}$que difieren por un signo menos, y el mapa que envía estas dos soluciones a $\Lambda$es un $2-1$, homomorfismo de $\mathrm{Pin}(p,q)$a $\mathrm{O}(p,q)$.

Una transformación de paridad en el grupo ortogonal$\mathrm{O}(p,q)$que invierte el$i$-ésimo eje espacial está dado por$P_i = \mathrm{diag}(1, 1 \ldots 1, -1, 1, 1, \ldots 1)$, con la entrada de$-1$actuando sobre el$i$-ésimo eje espacial. Para encontrar una transformación de paridad en un espinor (pinor), se resuelven las ecuaciones anteriores para$\Lambda = P_i$. En un número par de dimensiones del espacio-tiempo, la solución es

$$S_{P_i} = \pm \gamma_i \gamma_n$$ dónde $\gamma_n = \prod_{a=0}^{n-1} \gamma_a$.

Crucial para que esto funcione es el hecho de que$\gamma_n$anti-conmuta con todas las matrices gamma$\gamma_a$en un numero par$n$de las dimensiones del espacio-tiempo. Sin embargo, en un número impar de dimensiones de espacio-tiempo, el operador$\gamma_n$es proporcional a la matriz identidad y, por lo tanto, conmuta con todo. Y, de hecho, creo que no hay ningún operador en un número impar de dimensiones del espacio-tiempo que funcione como anticonmutador con todas las matrices gamma.$\gamma_a$. Como resultado, no puedo ver que haya una solución para las ecuaciones anteriores para una transformación de paridad en espinores (pinores) en dimensiones impares.

La referencia principal que he estado usando es http://arxiv.org/abs/math-ph/0012006 . En la sección 5, página 65, se llega a una conclusión similar. Entonces se dice que el homomorfismo/mapa de cobertura 2-1 de$\mathrm{Pin}(p,q)$a$\mathrm{O}(p,q)$dada anteriormente no es sobreyectiva en un número impar de dimensiones de espacio-tiempo, y en particular no 'golpea' las reflexiones del eje en$\mathrm{O}(p,q)$.