Paridad intrínseca de fermiones y antifermiones: ¿por qué son opuestos?

Si considera el campo de Dirac$\psi$como una combinación lineal de la parte de aniquilación de partículas$\psi^+$y la parte de creación de antipartículas$\psi^{-c}$, entonces tenemos el requisito de que$P\psi(x)P^{-1}$debe ser proporcional a$\psi(Px)$, dónde$P$es el operador de inversión de paridad/espacio. (Cometo un ligero abuso de notación aquí - el$P$es tanto el operador unitario que representa la paridad que actúa sobre el espacio de estados como el operador de inversión espacial sobre el envío del espacio de Minkowski$(t,\vec x)$a$(t,-\vec x)$en el argumento.

En general, también tenemos que esto debería ser válido para$\psi^+$y$\psi^{-c}$, es decir

$$\begin{align} P \psi^+(x)P^{-1} & = \eta^\ast b_u \psi^+(Px) \\ P \psi^{-c}(x)P^{-1} & = \eta^c b_v \psi^{-c}(Px) \end{align}$$ donde el $\eta^\ast$y $\eta^c$son las fases por las cuales los operadores anti-creación/aniquilación se transforman y la $b_{u/v}$son las fases por las cuales los espinores fundamentales tradicionalmente se denotan como $u_s,v_s$transformar. Estas fórmulas surgen porque, por ejemplo, $\psi^+(x) = \sum_s \int u_s(\vec p) \exp(-\mathrm{i}px)a_s(\vec p)\mathrm{d}^3p$esquemáticamente, y del mismo modo para $\psi^{-c}$. Entonces se puede demostrar que $b_u = -b_v$, y para $P\psi(x)P^{-1}$ser proporcional a $\psi(Px)$entonces debemos tener eso $\eta^\ast = -\eta^c$porque de otra manera $\psi(x) = c_1 \psi^+(x) + c_2 \psi^{-c}$no puede ser proporcional porque el signo relativo cambiaría bajo la paridad.

Para obtener una derivación más detallada, consulte "La teoría cuántica de campos" de Weinberg, volumen 1, sección 5.5, como se sugiere en un comentario de TwoBs.