Invariancia de Yang-Mills Lagrangian bajo conjugación de carga

Al igual que la transformación del autor de la pregunta en la pregunta que vincula, sus transformaciones son incorrectas. La conjugación de carga es una conjugación literal : está reemplazando todos los campos que se transforman en una representación no trivial del grupo de indicadores por campos que se transforman en su representación conjugada . Da la casualidad de que esta transformación es lo mismo que "invertir el signo" para un$\mathrm{U}(1)$campo calibre, pero esto no es cierto para un campo no abeliano más general. La conjugación significa tomar la representación$\rho(g)$del grupo$T^a$y reemplazándolo por$\overline{\rho(g)}$, dónde$\bar{}$es la transpuesta en el espacio de representación. Dado que un elemento de grupo se escribe como exponencial$\exp(\mathrm{i}A^a T^a)$para$T^a$las representaciones de generadores del álgebra, se puede ver que esto envía$\rho(T^a)$a$-\overline{T^a}$.

Para$\mathrm{U}(1)$-teoría, la$T^a$es igual a la identidad en el espacio de representación unidimensional, lo que significa que puede expresar el mapa de conjugación de carga como$A^a \mapsto -A^a$mapa de los coeficientes$A^a$, explicando el origen del signo menos en el caso abeliano.

Permítanme tratar de traer algo de intuición física a lo que sucede bajo la conjugación de carga. En el caso de Yang-Mills con SU(N) la conjugación de carga en los campos de norma actúa explícitamente de la siguiente manera

$$\mathcal{C} A_\mu^i \mathcal{C} \,T^i = - A_\mu^j (T^j)^T ,$$ dónde$T^j$son los generadores de$SU(N)$, más específicamente puedes calcular la transformación expresando$T^i$en la representación fundamental $$\mathcal{C} A_\mu^i \mathcal{C} = - 2 \text{tr}(T^i (T^j)^T) A_\mu^j = -M^{ij}A_\mu^j,$$ desde$M$es una matriz simétrica, siempre se puede diagonalizar. Específicamente en el caso de$U(1)$el único generador es la identidad, y por eso el fotón se transforma en el negativo de sí mismo. En el caso de SU(2) entonces$M^{ij}$se vera como $$M = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$ Puedes imaginar que hay una base donde dos de los bosones de calibre se intercambian bajo conjugación de carga, donde la matriz será $$M = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},$$ que es lo que nos diría la intuición acerca de cómo$Z$bosón solo cambia de signo como el fotón bajo una conjugación de carga, pero el$W^\pm$los bosones se intercambiarán. Finalmente, para abordar más específicamente su pregunta, esta transformación induce un cambio en las constantes de estructura$f_{ijk}$, de modo que el término cruzado del lagrangiano que le preocupaba es invariante de conjugación de carga.

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El cambio de signo de las constantes de estructura surge ya que

$$\mathcal{L}^\prime=\text{tr}(\partial_\mu A^i_\nu T^i[A^{j\mu}T^j,A^{k\mu}T^k])\to \text{tr}(-\partial_\mu A^i_\nu (T^i)^T[-A^{j\mu}(T^j)^T,-A^{k\mu}(T^k)^T])\\ =-\partial_\mu A^i_\nu A^{j\mu}A^{k\mu}\text{tr}\{(T^i)^T[(T^j)^T,(T^k)^T]\}=-\partial_\mu A^i_\nu A^{j\mu}A^{k\mu}(-f_{jki})/2\,.$$