¿Analizamos los polos reales de la misma manera que analizas los polos complejos conjugados?

Entonces, estoy analizando un filtro y se me ocurrió la siguiente expresión para la función de transferencia en su forma canónica:

987654 + 4666.67 s + 1. s 2 2.48519 × 10 8 + 52316.2 s + s 2

que por supuesto es del tipo

ω z 2 + ω z q z s + s 2 ω pag 2 + ω pag q pag s + s 2

Ahora pasé a calcular los polos y los ceros y obtuve polos y ceros reales.

z 1 = − 222.222
z 2 = − 4444.44
pag 1 = − 5284
pag 2 = − 47032.2

Ahora, si estos fueran polos complejos conjugados y/o cero, procedería a verificar la frecuencia de oscilación natural ( ω ) y factor de calidad (Q).

Ahora siento que hablar sobre el factor de calidad en realidad, dado que está por debajo de 0,5, coincidirá con el hecho de que tenemos polos o ceros reales. Pero, ¿tiene sentido calcular la frecuencia? Porque como los polos/ceros tienen diferentes partes reales, oscilan en diferentes frecuencias.

De hecho, verifiqué los diagramas de Bode en este sitio http://www.onmyphd.com/?p=bode.plot.online.generator y, de hecho, muestra, en el asintótico, que tenemos 4 frecuencias diferentes que afectan las pendientes. Entonces, ¿cuál debería ser mi interpretación correcta? Siento que hay algunos conceptos subyacentes aquí que me estoy perdiendo. ¿Puede alguien ayudarme a organizar mis pensamientos sobre esto?

" Porque como los polos/ceros tienen partes reales diferentes, oscilan en frecuencias diferentes ". ¿Puedes describir lo que quieres decir con esto? Dado que todos están en el eje real negativo, en realidad no hay una oscilación asociada con ellos.
Ambos ceros están a una frecuencia más baja que los polos. La ganancia de alta frecuencia está cerca de la unidad. La ganancia de CC está muy por debajo de la unidad. Creo que este es un filtro de paso alto destinado a atenuar las frecuencias bajas o un filtro principal destinado a proporcionar un avance de fase. ¿Puedes agregar el contexto de dónde encontraste este filtro?
" Entonces, ¿cuál debería ser mi interpretación correcta? " - ¿Qué estás tratando de lograr en última instancia que te hace sentir que hasta ahora no has tenido éxito en tu objetivo?
@AJN tiene razón, el término "oscilación" no se usa bien aquí, ya que los osciladores ocurren solo cuando los polos están en el eje imaginario. Sí, es un filtro paso alto con dos niveles: -48 dB (aprox.) en baja frecuencia y 0 dB en alta frecuencia.
@Andyaka No creo que esté interpretando correctamente lo que significa tener polos negativos reales en lugar de conjugados complejos. Principalmente, no sé si tiene sentido hablar de una frecuencia "común" para los polos (como hicimos con los complejos conjugados), ya que, de hecho, están en diferentes frecuencias, como entendemos en el diagrama de Bode asintótico.
En el diagrama de Bode, todos se "enlazan" a 0 Hz, es decir, no tienen ningún contenido de jw. ¿Eso tiene más sentido? ¿Entiendes la relación entre polos/ceros y el diagrama de Bode?
Parece que realmente no te molestas en aceptar respuestas. Tienes que saber que no estás haciendo esto solo por ti, sino por cualquier otra persona en el futuro, en busca de problemas similares. Esas personas verán aparecer esta pregunta en sus búsquedas con respuesta(s), pero ninguno de ellos aceptó. Eso puede causar confusión en caso de que una respuesta haya resuelto sus problemas. No le cuesta nada decidir una respuesta y hacer clic en la marca de verificación (como lo hizo con dos de sus otras preguntas).
@aconcernedcitizen tienes razón, ¡lo haré con mis otras preguntas!

Respuestas (2)

Recomendaría factorizar la fórmula original en una forma de baja entropía y hacer coincidir el polinomio normalizado de un sistema de segundo orden que es: H ( s ) = a 0 b 0 1 + a 1 s + a 2 s 2 1 + b 1 s + b 2 s 2 que después de la reorganización adecuada conduce a la forma correcta donde un término principal define la ganancia de CC en su caso: H ( s ) = H 0 1 + s ω 0 norte q 0 norte + ( s ω 0 norte ) 2 1 + s ω 0 D q 0 D + ( s ω 0 D ) 2 donde el norte y D los subíndices se refieren respectivamente al numerador y al denominador.

Si el factor de calidad está por debajo de 0,5, implica que las raíces son reales y no coincidentes: no hay partes imaginarias y el sistema está bien amortiguado. Para un factor de calidad bajo, los polos (o ceros) están bien repartidos y uno de ellos domina el espectro de baja frecuencia mientras que el otro domina la parte superior. En este caso, puede aplicar el llamado low- q aproximación :

1 + s ω 0 q 0 + ( s ω 0 ) 2   ≈ ( 1 + s ω pag 1 ) ( 1 + s ω pag 2 ) dónde ω pag 1 = ω 0 q y ω pag 2 = ω 0 q .

En su caso, puede reelaborar la expresión factorizando 987654 en el numerador y 2.48 10 8 en el denominador. Esto muestra una atenuación de CC de 48 dB seguida de dos ceros sobre los dos polos. Una hoja de Mathcad muestra la respuesta típica de la forma factorizada y la compara con la expresión original:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Con los valores dados, ve un aumento en la fase de alrededor de 1 kHz, ¿quizás para compensar un sistema de control?

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Es importante formatear adecuadamente las funciones de transferencia siguiendo un análisis orientado al diseño o D-OA: la función de transferencia debe describir un sistema y revelar si tiene ganancias, polos o ceros. Respetar el formato asociando un término inicial (si lo hay) con una fracción que comienza por 1+... tipo de formato cumple naturalmente este requisito en mi opinión.

La razón para dividir una función de transferencia larga (tf) en secciones de segundo orden es evitar inestabilidades numéricas o controlar el factor de calidad de las raíces. La fórmula general para un tf de segundo orden sólo es válida si no se puede reducir más, es decir, las raíces de los polinomios que forman el tf son complejas (conjugadas, para Hurwitz). Pero dado que su tf solo tiene polos y ceros reales, entonces se puede dividir aún más en dos secciones de primer orden:

H ( s ) = ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) ( s − pag 1 ) ( s − pag 2 )

Esto significa que, dado que ya no tienes raíces complejas, ya no puedes hablar de tener un factor de calidad: tienes dos celdas básicas de primer orden en serie. Para una breve explicación de por qué, vea esta respuesta .

“como ya no tienes raíces complejas, ya no se puede hablar de tener un factor de calidad”. Bueno, aún puede hablar sobre el factor de calidad, si lo define como una proporción adecuada de los coeficientes de la ecuación. Básicamente Q = 1/(2 zeta) donde zeta es la relación de amortiguamiento. Y la relación de amortiguamiento se puede expresar como una función de la separación de polos p2/p1 incluso para polos reales. De hecho, zeta> 1 para polos distintos reales, y esto da Q <1/2 como dice @VerbalKint en su respuesta.
@SredniVashtar Estrictamente hablando, sí, puede hablar sobre un factor de calidad, pero sería bastante inútil ya que en el momento en que tiene un poste real, sabe con precisión que solo puede tener un valor posible. Esta es la razón por la que lo dividí en polos simples y reales, para mostrar que dicho segundo orden se puede dividir en secciones de primer orden, mostrando que, de hecho, hay dos polos, en lugar de un polo "complejo". ¿Encaja esto en la categoría de sobreamortiguación? Por supuesto, pero también muestra que sobreamortiguado realmente significa dos polos distintos, simples y reales, nada más.
No estoy seguro de a qué te refieres con "solo un valor posible". Quiero ser claro, no estoy antagonizando contigo. Cuando me enteré por primera vez de esta 'generalización' de QI, me sorprendió bastante que todavía pudiera usarse en sistemas no oscilantes, pero al final tiene sentido porque, al igual que la relación de amortiguamiento, es una medida de amortiguamiento incluso si el sistema es no oscilante. Q simplemente pierde el significado de la relación entre la energía almacenada y la energía disipada por ciclo (que creo que es el sentido agradable de su respuesta) y se convierte en una medida de qué tan separados están los polos distintos reales.
@SredniVashtar Todo es muy cierto y, como acordé, está en la base del caso sobreamortiguado para los sistemas de segundo orden. La diferencia que traté de hacer es que el sistema sobreamortiguado se puede reducir aún más a sistemas simples de primer orden, donde no hay amortiguamiento debido a que solo hay raíces de valor real. Es similar a las celdas RC o RL, simplemente terminan acumulando raíces en el eje real, en lugar de hacer uso de todo el plano complejo. Supongo que es solo otra forma de verlo. A mi modo de ver, esta es una discusión como cualquier otra. Siempre y cuando surja algún tipo de verdad, ¿por qué no?
¿Analizamos los polos reales de la misma manera que analizas los polos complejos conjugados?
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