Límite de campo clásico del campo cuántico de electrones

Para recuperar campos electromagnéticos clásicos del campo electromagnético cuántico, consideramos estados coherentes de la forma

Exp ⁡ ( ∫ d r → A → ( r → ) a → † ( r → ) ) | 0 ⟩
como se describe en esta publicación de blog . Este estado corresponde a un campo EM clásico con el vector potencial A → ( r → ) , que contiene un número indeterminado de fotones.

Estoy confundido acerca de cómo funciona esto para campos de espín 1/2 como el electrón. Por alguna razón, el límite clásico del campo cuántico de electrones que nos interesa es una partícula, no un campo, por lo que parece que este procedimiento no se aplica. Incluso si lo hiciéramos, no tengo idea de cómo sería un "campo de electrones clásico", ya que nunca hablamos de tal cosa.

  • Si aplico el procedimiento de todos modos, para obtener 'estados coherentes de electrones', ¿cuál es la interpretación de estos estados? Tienen un número de electrones indeterminado, lo cual es extraño.
  • ¿Cómo es el campo de electrones clásico resultante?
  • ¿Cómo podemos recuperar partículas de electrones cuánticos del campo de electrones cuánticos?
Lo siento si la redacción es torpe, pero quiero tener mucho cuidado al distinguir entre una partícula clásica, un campo clásico, una partícula cuántica y un campo cuántico.
Para recuperar una "partícula clásica" de un objeto mecánico cuántico, necesita una medición débil constante de la posición. Mott ya describió esto en 1929, y hoy en día necesitaría usar un enfoque de matriz de decoherencia/densidad para lograr lo mismo en lenguaje moderno. No "simplemente se sigue" de la teoría del campo libre. ¿Por qué lo haría? El campo libre es siempre el comportamiento de un objeto mecánico cuántico. Para ser muy honesto contigo... el artículo de Motl no es un buen lugar para comenzar con esto... él puede saber de lo que está hablando, pero la presentación es atrozmente agitada...
Creo que uno puede usar el procedimiento para obtener campos eléctricos y magnéticos clásicos del campo de electrones, no partículas como señala la respuesta de Virgo.

Respuestas (3)

El límite clásico de los sistemas mecánicos cuánticos bosónicos con grados de libertad finitos e infinitos se entiende bastante bien desde un punto de vista matemático (con todo el rigor y para estados cuánticos bastante generales; véanse las referencias al final).

Con los fermiones , por otro lado, la situación es más complicada. El punto es esencialmente el insinuado por la respuesta de @Virgo, es decir, que por el principio de exclusión es bastante complicado tratar el límite de una gran cantidad de partículas fermiónicas.

Hasta donde yo sé, la cuestión puede abordarse en dos pasos separados. 1) Un primer paso es pasar del espacio de Fock y la dinámica del campo cuántico a una especie de dinámica del fermión de campo clásico (puedes ver eso como una aproximación del campo medio norte → ∞ ). Mientras que para los bosones el resultado de tal procedimiento es una dinámica efectiva en el espacio de una partícula, para los fermiones todavía tienes una dinámica que involucra a todos los diferentes componentes con diferente número de partículas. Sin embargo, puede ser posible (por ejemplo, en el caso de fermiones que no interactúan consigo mismos) que la dinámica pueda restringirse realmente a cada uno norte -sector de partículas. 2) Ahora suponga que tiene una dinámica de campo media que se restringe a cada sector. En el sector de una partícula, tendría, digamos, una ecuación de Dirac para un electrón en un potencial externo. Ahora puede utilizar las herramientas estándar del análisis semiclásico (bosónico/mecánico cuántico) para obtener la dinámica de partículas clásica, teniendo también en cuenta el espín, en el límite ℏ → 0 .

El paso (2) se ha realizado, por ejemplo , aquí , para fermiones relativistas. En el caso de fermiones no relativistas que interactúan consigo mismos, este procedimiento de dos pasos se ha realizado recientemente con total rigor, obteniendo Hartree-Fock para el campo medio norte → ∞ aproximación, y la ecuación de Vlasov luego en el ℏ → 0 límite (porque para los fermiones que interactúan entre sí no puede restringirse a un sector de partículas fijas porque la dinámica involucra otros sectores, por lo que debe considerar todas las partículas a la vez, obteniendo por lo tanto una ecuación de Vlasov). Las referencias son para el paso (1) este y para el paso (2) este .

Observo que también para bosones no relativistas es posible hacer un límite medio y clásico, y es más fácil que con fermiones. Se ha hecho por ejemplo aquí . Sin embargo, para campos bosónicos relativistas y sistemas mecánicos cuánticos, es posible simplemente hacer el límite clásico ℏ → 0 para obtener la dinámica clásica de campo o de partículas. Esto último se ha hecho rigurosamente para prácticamente cualquier sistema "concebible", utilizando los resultados que se originan en el cálculo pseudodiferencial de Weyl-Hörmander y las llamadas medidas de Wigner . El primero es mucho más complicado, pero recientemente se han obtenido algunos (pocos) resultados, esencialmente aquí , aquí y aquí .

Esa fórmula es para bosones. En el límite de partículas grandes, el campo cuántico de bosones se puede aproximar mediante el campo clásico. Los electrones son fermiones y, por el principio de exclusión de Pauli, solo puede haber una partícula por estado. Por lo tanto, no puede llegar al límite de partículas grandes de la misma manera que puede hacerlo con un campo de bosones que puede tener muchas partículas en cada estado. Por esta razón, no es posible obtener un límite de campo clásico para el campo de electrones. Para electrones no relativistas, la teoría cuántica de campos se reduce a la mecánica cuántica de partículas múltiples. Este límite no se aplica a los fotones ya que siempre son relativistas.

¡Gracias por la respuesta! Para asegurarme de que entiendo, ¿implica esto que para un campo bosónico masivo, hay partículas cuánticas (no relativistas) y un campo clásico (alto norte ) límites?
Sí, eso es correcto. QFT se reduce a QM en el límite no relativista.
Además, los bosones (masivos y sin masa) pueden describirse mediante un campo clásico en el límite N grande.
Si tenemos que las unidades de E son solo Newtons por culombio, ¿cuál sería la unidad de campo de electrones?

En el estudio se construyen estados coherentes fermiónicos con un comportamiento verdaderamente clásico.

Zhang, WM y Gilmore, R. (1990). Estados coherentes: teoría y algunas aplicaciones. Revisiones de física moderna, 62(4), 867. http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.62.867

Se obtiene un segundo tipo de estados coherentes fermiónicos al tratar los coeficientes en su expresión como variables de Grassmann. Esto da un límite clásico generalizado en el que se tienen variables anticonmutantes clásicas, del mismo tipo que se tiene en las integrales de trayectoria fermiónica.

¿Puede explicar cómo las variables anticonmutación pueden aparecer clásicamente? Pensé que la teoría clásica de campos se construía exclusivamente a partir de números reales. ¿Cómo mediría algo valorado por Grassmann?
@knzhou: Las variables antitrabajo son ''clásicas generalizadas'': el álgebra de formas exteriores tiene esta propiedad. Esta es también la base de las llamadas supervariedades, donde la geometría diferencial se generaliza al caso anticonmutación. Todo es un poco abstracto, pero todo se generaliza perfectamente.
Sólo se pueden medir las variables pares, que conmutan. Estos forman una subálgebra del álgebra completa. Tenga en cuenta que en las expresiones para los observables físicos teóricos de campo, los operadores fermiónicos siempre aparecen en pares, por lo que los observables son pares.
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