Álgebra moderna y teoría de conjuntos: ZFC vs. NBG

Esta puede ser una pregunta algo filosófica y probablemente sea quisquillosa, pero también es una que siempre me ha molestado un poco:

¿No es más natural considerar la teoría de conjuntos NBG como la base del álgebra moderna en lugar de la ZFC tradicional? Para mí, ZF siempre me ha parecido un poco raro, a falta de una palabra mejor, como si hubiera sido parcheado y parcheado a lo largo de los años; más o menos cómo se vería Windows Vista hoy si todavía estuviera en uso. Sin duda, es una teoría extremadamente poderosa, pero el punto es que en la aplicación moderna ZF tiende a ser algo inadecuado, aparentemente siempre requiere una solución; por lo tanto, hacky. Por otro lado, NBG trata directamente con las clases, y es, para todos los efectos, más accesible desde el punto de vista algebraico, especialmente desde el punto de vista de la teoría de la red y del orden, hasta llegar a la teoría del campo de clases. NBG simplemente está mejor equipado para el trabajo.

Supongo que una forma más fácil de decir todo esto es que mientras que ZF está más preocupado por los objetos, NBG está diseñado para explotar las relaciones entre los objetos, lo que, en mi opinión, es más fundamental no solo para las matemáticas, sino también para la lógica misma. NBG se implementa naturalmente para exhibir las habilidades de comparación y deducción, que se puede argumentar que forman la base del concepto de lógica, en sí mismo.

¿Estoy loco o alguien más se ha sentido así alguna vez?

Deberías cambiarte a linux y SEAR .
@k.stm: ¿Cómo es eso de Linux? En todo caso, eso es DEC10.
Lol, uso Linux, solo fue una analogía.
@AsafKaragila Curiosamente, la página a la que me vinculé incluso se entrega a esa metáfora (que no sabía antes): "O, usando una metáfora alternativa, ZFC es como Windows, ETCS es como UNIX y SEAR es como OS X ( o tal vez Ubuntu).” Y tal vez no sea Ubuntu, sino Debian o Arch o algo así.
@k.stm: Como alguien que ha estado haciendo teoría de conjuntos durante un tiempo y ha estado trabajando con Linux durante un tiempo más, y con Windows incluso más que eso, la comparación es mala. La comparación debe ser entre arquitecturas de CPU, no entre sistemas operativos.
@k.stm Eso es bastante irónico. Pero acabo de pasar por alto la página, y parece básicamente un NBG informal, usando la noción de relaciones en lugar de definir formalmente las clases adecuadas.
@AsafKaragila Confío en usted en esto: no sé mucha teoría de conjuntos (lo que significa que casi no sé nada). ¿Está de acuerdo con el resto de la comparación o tal vez conozca alguna otra comparación informal de SEAR/ZFC o teoría de conjuntos estructurales/materiales que le parezca buena? Estoy (superficialmente) interesado en esto.
@k.stm: No del todo. La razón por la que ZFC es "Windows" o que "te subes al auto y te vas" es que durante muchos años la gente trabajó para permitir que los matemáticos hicieran precisamente eso. No siempre fue así. Informalmente, las teorías de conjuntos estructurales y materiales son dos disfraces diferentes del mismo lobo. Simplemente difieren en el enfoque de lo que es primitivo y cómo decir las cosas. No puedo decir mucho más, ya que no sé mucho sobre la teoría estructural de conjuntos. Solo sé lo suficiente para decir que prefiero Z F C . :-)
Como algebrista, siento que esto es solo un problema cuando se escriben fundamentos. En otras ocasiones, la teoría de conjuntos que uno usa casi siempre está fuera del camino.
@Asaf: Además, norte B GRAMO es evidentemente No Bloody Good! :-)

Respuestas (1)

Muchas personas se han sentido así.

Esta es la razón por la que a menudo escuchas a personas en álgebra quejándose de la teoría de conjuntos, o ignorando problemas de teoría de conjuntos (por lo general, pueden señalar dónde surgen estos problemas y que alguien sabe cómo resolverlos). Esta es también la razón por la que hay personas que están muy entusiasmadas con las teorías de conjuntos algebraicos como mi T C S , o escribir teorías como S mi A R y H T T , que puede o no resultar ser una mejor base para el álgebra.

Pero cambiar de Z F C a norte B GRAMO solo empuja el problema "un paso más allá". Claro, ahora tienes la clase de todos los grupos como un objeto real. Pero ¿qué pasa con la categoría de todas las categorías pequeñas? Eso ya no es una clase, ya que solo los conjuntos pueden ser elementos de otras clases, y las categorías pequeñas no son necesariamente clases.

Es por eso que trabajar con universos es más fácil aquí. Te permiten saltar "un nivel hacia arriba" sin ninguna consecuencia. Cada vez, simplemente amplía la definición de lo que significa ser un conjunto e incluye más cosas como conjuntos.

Entiendo su punto, sin embargo, tenía la impresión de que NBG podría manejar tal discusión. ¿Un universo no es una clase?
En realidad, supongo que dado que estamos hablando de las categorías de todas las categorías, simplemente permitiríamos la comprensión impredicativa, ¿no?
El universo es una clase. Pero las clases no son objetos de otras clases. Entonces, una categoría cuyos objetos son categorías pequeñas es una colección cuyos objetos son en sí mismos clases, y para que esta colección esté "en el universo", debe permitir 2 clases (por lo tanto, extender nuevamente), o que todas las categorías con las que trabajó eran en realidad conjuntos para empezar. Lo que NBG le brinda es la capacidad de cuantificar sobre clases adecuadas, lo que facilita mucho el manejo de categorías pequeñas (y en un grado muy, muy pequeño, para hacer declaraciones sobre categorías pequeñas arbitrarias).
Alternativamente, ¿no podríamos simplemente dar a priori una definición formal de, por ejemplo, el "alcance lógico" de una variable en una fórmula lógica y permitir la modificación de un tema en particular, haciendo así que cualquier fórmula lógica sea "dependiente del alcance"? Es decir, podríamos dejar de definir variables independientes del ámbito, de modo que cuando elegimos generalizar, el "derrame" paradójico de las variables cuantificadas se modifica en cierto sentido por la restricción al nuevo ámbito.
Eso suena peligrosamente cercano a la teoría de tipos. :-)
Supuse que lo captarías ;)
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