En el libro "Introducción a la teoría de conjuntos" de Hrbacek y Jech, hay un concepto de operación definido para un tipo especial de fórmula o propiedad.
Dada una propiedad tal que se mantiene, se puede definir una "operación" por ajustes sostiene
Este es realmente un concepto informal, tratando de formalizar una noción de una función entre clases en ZFC, donde todos los objetos son conjuntos, por lo que las "clases" no existen. Es fácil extender esta "definición" a un caso general de una fórmula con muchas variables arbitrarias (libres):
Dada una propiedad tal que se mantiene, podemos definir una operación para cualquier tal que sostiene
Obviamente, dado un conjunto , podemos definir una restricción de como una función de a través del esquema del axioma de reemplazo: sea , y deja
Hrbacek y Jech usan estos conceptos en su versión del teorema de recursión transfinita:
Para cualquier operación hay una operacion : para todos los ordinales ,
Sin embargo, recientemente escuché que no se puede cuantificar sobre nada más que un conjunto en ZFC (ya que es una teoría de primer orden). Debo confesar que solo tengo una vaga comprensión de esa declaración, pero sospecho que no se puede cuantificar sobre fórmulas u "operaciones". Por lo tanto, la versión antes mencionada de la recursividad transfinita no está bien definida en lo que respecta a ZFC.
Sin embargo, el esquema del axioma de especificación también se establece para fórmulas/propiedades arbitrarias:
Dada una fórmula ,
Agradecería una aclaración de mi confusión con respecto a esas dos preguntas:
¿Podemos cuantificar sobre fórmulas en ZFC? Es decir, ¿podemos hablar de fórmulas arbitrarias como "para cada fórmula , o "existe una fórmula "?
¿Está bien definido el concepto de una operación en Hrbacek-Jech? De no ser así, ¿cuál es la solución?
No , no podemos cuantificar sobre fórmulas. Podemos usar algunos trucos (por ejemplo, podríamos cuantificar sobre numeraciones de fórmulas de Gödel) pero no resultan muy buenos. Es por eso que los esquemas de axiomas son esquemas , no axiomas: un "esquema" es una colección (generalmente infinita) de axiomas. Por ejemplo, el esquema de especificación de axiomas que mencionó debe considerarse como una colección infinita de axiomas, uno para cada fórmula .
El concepto de una operación dada no está bien definido dentro de ZFC , por lo que, por ejemplo, ninguna declaración como "para cada operación ..." puede ser un teorema de ZFC. Pero puede ser que para cada fórmula , "tales y tales retenciones de la operación definida por " es un teorema de ZFC. Entonces, por ejemplo, el teorema de recursión transfinita debe considerarse como un solo teorema en la metateoría, pero infinitamente muchos teoremas separados dentro de la teoría de ZFC (uno para cada fórmula definir una operación).
El punto es que la teoría de conjuntos no ocurre en el vacío. Ocurre dentro de alguna metateoría, y dentro de una que es adecuada para hacer cosas como la inducción y la aplicación de reglas de deducción.
Nosotros, como matemáticos, no estamos atados dentro de un sistema. Podemos, siempre que comprendamos las sutilezas y las diferencias, operar dentro de la teoría, la metateoría, la metametateoría, etc. Estas cosas solo dependen de nuestra elección de configuración. Y la única salvedad es comprender completamente lo que se puede hacer en la teoría y lo que requiere ir a la metateoría.
Cuantificar sobre fórmulas es algo que no se puede hacer en la teoría. (*) Pero se puede hacer en la meta-teoría. Entonces, lo que esto significa, por ejemplo, cuando hablamos de los esquemas de reemplazo y subconjunto, es que tenemos un patrón que tiene un parámetro, y el axioma parece "el mismo", excepto que variamos el parámetro en todas las instancias posibles. Esto suele dar como resultado una lista infinita de axiomas, pero uno que podemos reconocer algorítmicamente. Eso es importante para el desarrollo de un proceso de verificación de pruebas.
Aquí pasa lo mismo. Cuando decimos que por cada hay algo , en realidad afirmamos infinitos teoremas, pero decimos "Todas estas pruebas parecen iguales, módulo el hecho de que las fórmulas para son diferentes". O más bien, lo que demostramos es que "dada una fórmula que define de manera demostrable una operación, existe un algoritmo para escribir una fórmula para otra operación con tales o cuales propiedades demostrables".
(*) No lo haré más confuso hablando de predicados de verdad acotada, estos aparecerán más adelante, pero primero sería una buena idea aprender en profundidad el teorema de incompletitud, ya que eso ayudaría a aliviar algunos de las dificultades conceptuales.
marca fischler
jxt921