La perspectiva computacional de Terry Tao sobre la teoría de conjuntos

La respuesta más simple es que está usando ciertos objetos como números naturales y funciones a través de sus propiedades abstractas (llamadas interfaces en lenguajes de programación), en lugar de precisar cualquier objeto específico que tenga esas propiedades (llamadas implementaciones en lenguajes de programación). La razón es que generalmente nos preocupamos por las interfaces y rara vez por cómo se implementan exactamente.

Recuerde que, por lo general, los objetos matemáticos no vienen solos sino como miembros de alguna estructura, y las propiedades que queremos que tengan se entienden mejor como propiedades de la estructura como un todo único. Eso también significa que somos libres de cambiar la estructura siempre que satisfaga las mismas propiedades.

El ejemplo típico son los números naturales. Casi todo el tiempo solo nos preocupamos por las propiedades que tienen entre sí, como$0 < 1 < 2 < 3 < \cdots$, e inducción sobre los números naturales. Se requiere que todas estas propiedades se mantengan independientemente de cómo se forme realmente la colección de números naturales. ZFC tiene muchas formas de exhibir un modelo de PA y, de hecho, la construcción original de Zermelo de uno de estos modelos era diferente de la construcción estándar de von Neumann. La razón por la que usamos este último ahora es uno de los raros casos en los que encontramos que es más conveniente que los números naturales sean un conjunto transitivo, de modo que sean ordinales de von Neumann. Hay ventajas técnicas en eso, porque podemos usar el símbolo incorporado$\in$para la ordenación en ordinales. Se puede decir que nos gusta que la estructura de los números naturales satisfaga internamente PA y externamente sea una subestructura de la estructura de los ordinales, por lo que hay una razón especial para privilegiar la construcción de von Neumann de los números naturales.

Otro ejemplo típico son los números reales. Esta vez, en la práctica, nunca nos importa cómo se construyen. Siempre que satisfagan las propiedades del campo y el axioma de completitud de segundo orden, es suficiente. Se puede decir que solo necesitamos la estructura de los reales para satisfacer las propiedades internas, y no nos importan las propiedades externas. Entonces, si usamos las sucesiones de racionales de Cauchy o los cortes de Dedekind de los racionales o las sucesiones decimales, no importa en absoluto. El único punto en el que importa es cuándo desea construir la estructura para mostrar que hay alguna instancia que satisface las propiedades deseadas, donde en algunos sistemas débiles algunas de estas no son posibles de construir. A partir de entonces, usamos números reales solo a través de su interfaz.

Del mismo modo para las funciones. En ZFC se pueden codificar como tipos especiales de subconjuntos del producto cartesiano del dominio y el codominio, pero en la práctica no nos importa, ya veces no queremos esa restricción, cuando se trata de funciones de clase, por ejemplo. Ves, piensas en el símbolo del powerset$\mathcal{P}$como una función, ¿no? Pero no puede ser un set en ZFC a menos que quieras una contradicción. Lo mismo para el mapa de cardinalidad y, en general, para cualquier cosa similar a una función cuyo dominio o codominio no sea un conjunto. Uno podría trabajar en la teoría de conjuntos MK estrictamente más fuerte para evitar ese problema, pero el punto sigue siendo que realmente no nos importa cómo se implementan las funciones siempre que podamos usarlas de la manera en que esperamos que funcionen.

Para asegurarse de que las estructuras matemáticas que uno usa se puedan construir en ZFC, solo tiene que asegurarse de que haya un conjunto en ZFC que satisfaga la interfaz deseada (como para números naturales y reales), o que haya una traducción sintáctica de prueba de uno a una prueba en ZFC (como las pruebas que utilizan funciones de clase, que a menudo, pero no siempre, se pueden traducir sistemáticamente en pruebas que funcionan en ZFC, simplemente reemplazando el uso de esas funciones por fórmulas), o que uno está trabajando en un extensión conservadora de ZFC (como el uso de potencia de abreviatura completa).

La referencia de Tao a la teoría pura de los conjuntos alude a la construcción de los números naturales a partir del conjunto vacío. En la versión de von Neumann, definimos$0=\varnothing$,$1=\{\varnothing\}$,$2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$y más generalmente$n+1=\{0,1,\ldots n\}$. Se puede proceder en este sentido y definir los números racionales y los números reales como ciertos tipos de conjuntos. En esta imagen, los números no son "primitivos" como dice Tao, o "átomos" para abreviar. Entonces el rango de von Neumann de$n$es precisamente$n$, el rango de von Neumann de cualquier conjunto infinito de números racionales es$\omega$(el ordinal menos infinito), y el rango de von Neumann de un número real es$\omega+1$.

Hablando en términos prácticos, en muchas ramas de las matemáticas es conveniente considerar los números como átomos y proceder a partir de ahí.

Por ejemplo, para construir la superestructura (universo) sobre el conjunto$\mathbb{R}$uno se da cuenta de que cada$x\in\mathbb{R}$es un átomo en el sentido de que$x\cap\mathbb{R}=\varnothing$y además$x\cap V(\mathbb{R})=\varnothing$dónde$V(\mathbb{R})$se acabó el universo$\mathbb{R}$.

Este punto de vista es útil para construir extensiones exóticas$V(\mathbb{R})\subseteq {}^{\ast}V(\mathbb{R})$que Tao es muy aficionado; ver por ejemplo, esto .