Al resolver una fracción continua simplificándola en una ecuación cuadrática, ¿tiene algún significado la raíz extraña?

De

$$y=\frac{1}{1+y} \tag{1}$$

la ecuación cuadrática resultante debe ser

$$y^2+y−1=0 \tag{2}$$

siendo las dos soluciones$y=\frac{−1\pm\sqrt5}{2}$.

Resulta que estos valores de$y$son los puntos fijos de la función$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$dónde

$$f(x)=\frac{1}{1+x} \tag{3}$$

La fracción continua converge a cualquier valor de la secuencia de función iterada

$$x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))), \ldots$$

converge a. Los puntos fijos de$f$son los únicos valores posibles a los que puede converger la fracción continua. La convergencia de la fracción continua en la vecindad de cualquiera de los puntos fijos depende de si el punto fijo es atractivo o no. Desde$f$es continuamente diferenciable en las vecindades de ambos$\frac{−1-\sqrt5}{2}$y$\frac{−1+\sqrt5}{2}$(hay una discontinuidad sólo en$-1$), cualquier punto fijo es atractivo si y solo si

$$|f'(x_0)|<1$$

De (3),

$$f'(x)=\frac{-1}{(1+x)^2} \tag{4}$$

Ahora en cualquier punto fijo, la ecuación (1) se cumple con$y=x_0$, entonces (4) se reduce a

$$f'(x_0)=-\left(\frac{1}{1+x_0}\right)^2=-x_0^2 \tag{5}$$

Así que ahora llamando$x_1=\frac{−1-\sqrt5}{2}$y$x_2=\frac{−1+\sqrt5}{2}$Debemos tener

$$f'(x_1)=-\left(\frac{−1-\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{-3-\sqrt5}{2} \implies |f'(x_1)|>1$$

entonces$x_1$es un punto fijo inestable, y la secuencia se alejará de este valor.

---

respuesta 1

Por lo tanto, la raíz$x_1=\frac{−1-\sqrt5}{2}$surge como un punto fijo no atractivo que se puede ignorar con seguridad ya que la fracción continua no puede converger a este valor.

Para$x=\frac{-1-\sqrt5}{2}$exactamente,$f(x)=\frac{-1-\sqrt5}{2}$pero este es un equilibrio inestable (cualquier perturbación provoca una divergencia).

---

respuesta 2

También,

$$f'(x_2)=-\left(\frac{−1+\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{\sqrt5-3}{2} \implies |f'(x_2)|<1$$

entonces$x_2$es un atractivo punto fijo . Porque$f'(x_2)<0$, la secuencia convergerá en forma alterna (oscilando alrededor del punto fijo) al punto fijo en$x_2=\frac{−1+\sqrt5}{2}$.

Desde

$$\begin{align} x\in(-\infty,-2) &\implies f(x)\in(-1,0) \\ x\in(-1,0) &\implies f(x)\in(0,\infty) \\ x\in(0,\infty) &\implies f(x)\in(0,\infty) \\ \end{align}$$

es bastante sencillo ver que la sucesión convergerá a$\frac{-1+\sqrt5}{2}$para$x\in(-\infty,-2)\cup(-1,0)\cup(0,\infty)$.