Advección-difusión con condiciones de contorno periódicas e inclinación

Question

Advección-difusión con condiciones de contorno periódicas e inclinación

Física
topología
difusión
mecánica de Medios Continuos
mecánica estadística
ecuaciones diferenciales

Quillo

Contexto: considere la ecuación de advección-difusión con condiciones de contorno periódicas (PBC) sobre un dominio cuadrado plano $L \times L$ . La densidad escalar $\rho$ es transportado por un campo prescrito $\mathbf{v}=-\nabla U$ , dónde $U(\mathbf{x})$ es un potencial escalar que tiene la periodicidad impuesta por el PBC. la densidad $\rho$ evoluciona como

\partial_{t} ρ (X, t) = - \nabla \cdot [v (X) ρ (X, t) - \nabla ρ (X, t)] = 0

$\partial_t \rho(\mathbf{x},t) = -\nabla \cdot [ \mathbf{v}(\mathbf{x}) \rho(\mathbf{x},t) - \nabla \rho(\mathbf{x},t) ] = 0$

La solución de estado estacionario se encuentra imponiendo $\partial_t \rho(\mathbf{x},t) =0$ y tiene la forma habitual de Gibbs:

ρ (X) \propto {mi}^{- tu (X)}

$\rho(\mathbf{x}) \, \propto \, e^{-U(\mathbf{x}) }$

El problema: me pregunto cómo encontrar el estado estacionario en un caso un poco más general, donde

v = - \nabla tu + q

$\mathbf{v} = -\nabla U + \mathbf{q}$

El potencial $U$ tiene la periodicidad impuesta por el PBC y $\mathbf{q} =(q_x,q_y)$ es un campo vectorial constante (la constante \mathbf{q} define la llamada "inclinación" del potencial $U$ ). Por lo tanto, la ecuación que tenemos que resolver es

\nabla \cdot [ρ (X, y) q - ρ (X, y) \nabla tu (X, y) - \nabla ρ (X, y)] = 0

$\nabla \cdot [ \, \rho(x,y) \, \mathbf{q} - \rho(x,y) \nabla U(x,y) - \nabla \rho(x,y) \, ] = 0$

con las condiciones periódicas $\rho(0,y) = \rho(L,y)$ , $\rho(x,0) = \rho(x,L)$ , $U(0,y) = U(L,y)$ , $U(x,0) = U(x,L)$ . Por simplicidad, traté de considerar el caso $\mathbf{q}=(q,0)$ , pero el problema todavía parece no trivial.

Pregunta: ¿Alguna idea o referencia sobre la ecuación de difusión-advección en condiciones de contorno periódicas (en particular sobre el estado estacionario)? ¿Cuál es la "solución tipo Gibbs" en este caso?

Otras consideraciones: tengo la sensación de que encontrar una solución no es fácil porque el potencial de "inclinación" que genera el campo constante $\mathbf{q}$ es $-\mathbf{x}\cdot \mathbf{q}$ . Esta contribución de "inclinación" machos el potencial total $U-\mathbf{x}\cdot \mathbf{q}$ no periódico (es decir, no satisface el PBC).

Además, defina la corriente total en el estado estacionario como

j (X, y) = ρ (X, y) [q - \nabla tu (X, y)] - \nabla ρ (X, y),

$\mathbf{J}(x,y) = \rho(x,y) \, [\mathbf{q} - \nabla U(x,y)] - \nabla \rho(x,y) \, ,$

por lo que tenemos que encontrar el $\mathbf{J}$ tal que

\nabla \cdot j = 0 \Rightarrow j = R \nabla gramo

$\nabla \cdot \mathbf{J} = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{J} = R \nabla g$

dónde $R$ es una rotación de 90 grados y $g$ es un potencial escalar desconocido. Tenga en cuenta que $g$ no tiene que respetar el PBC, pero $\mathbf{J}$ hace: (probablemente) la forma más general de $g$ es

gramo (X, y) = GRAMO (X, y) + a X + b y

$g(x,y) = G(x,y) + a x + b y$

dónde $G$ respeta el PBC y $a$ y $b$ son constantes. Aunque es más probable que los físicos estudien este problema, tengo la sensación de que el problema está íntimamente relacionado con la topología del toroide 2D , por lo que también publiqué una pregunta similar en Math SE .

Daniel

¿Qué sucede cuando intenta una transformación de marco, es decir, reescribir el problema en términos de

x^{'} = x - q t

$x' = x - qt$ ?

Quillo

Hola @Daniel, perdón por la respuesta tardía. Sí, lo intenté, pero desafortunadamente no parece útil.

Daniel

Una observación: si

U

$U$ es constante, no existe solución (a menos que

q = 0

$q = 0$ también). Y creo que puedo demostrar que las soluciones "explotan" (tienen energía empujada a frecuencias arbitrariamente altas) como

\nabla U \to 0

$\nabla U \rightarrow \mathbf{0}$ , si existen. ¿Has intentado estudiar la versión 1D de este problema?

Quillo

Sí, la versión 1D es básicamente la misma. Terminas con una solución formal.

ρ (x) \propto e^{q x - U (x)}

$\rho(x) \propto e^{q x -U(x)}$ que no puede ser periódico. Tal vez encontré algo interesante aquí: sciencedirect.com/science/article/pii/… ..parece que lo "correcto" es considerar la versión adjunta de la ecuación.

Daniel

@Quillo acaba de actualizar mi respuesta para terminar la prueba.

Quillo

@Daniel: ¡Muchas gracias!

Mateo Kvalheim

Esto no responde del todo a la pregunta, pero en caso de que sea de interés: escribí un artículo estudiando sistemas de este tipo con cierto detalle (de ahí mi interés en la discusión de Quillo y @Daniel). arxiv.org/abs/2108.06431 . El teorema 3 da (pequeña difusión) información asintótica sobre

ρ

$\rho$ (cf. Observación 4). Sin embargo, el artículo se centra más en aproximar el flujo de

J

$\mathbf{J}$ a través de hipersuperficies adecuadas (Teoremas 1, 2, 4; Prop. 3).

Respuestas (1)

Advección-difusión con condiciones de contorno periódicas e inclinación

¿Qué sucede cuando intenta una transformación de marco, es decir, reescribir el problema en términos de $x' = x - qt$ ?
Hola @Daniel, perdón por la respuesta tardía. Sí, lo intenté, pero desafortunadamente no parece útil.
Una observación: si $U$ es constante, no existe solución (a menos que $q = 0$ también). Y creo que puedo demostrar que las soluciones "explotan" (tienen energía empujada a frecuencias arbitrariamente altas) como $\nabla U \rightarrow \mathbf{0}$ , si existen. ¿Has intentado estudiar la versión 1D de este problema?
Sí, la versión 1D es básicamente la misma. Terminas con una solución formal. $\rho(x) \propto e^{q x -U(x)}$ que no puede ser periódico. Tal vez encontré algo interesante aquí: sciencedirect.com/science/article/pii/… ..parece que lo "correcto" es considerar la versión adjunta de la ecuación.
@Quillo acaba de actualizar mi respuesta para terminar la prueba.
Esto no responde del todo a la pregunta, pero en caso de que sea de interés: escribí un artículo estudiando sistemas de este tipo con cierto detalle (de ahí mi interés en la discusión de Quillo y @Daniel). arxiv.org/abs/2108.06431 . El teorema 3 da (pequeña difusión) información asintótica sobre $\rho$ (cf. Observación 4). Sin embargo, el artículo se centra más en aproximar el flujo de $\mathbf{J}$ a través de hipersuperficies adecuadas (Teoremas 1, 2, 4; Prop. 3).

Daniel · Answer 1

Cualquier $\rho$ que resuelve la ecuación en todo el toro también debe ser una solución local en cada subconjunto. En particular, debe ser una solución en el abierto (no toroidal) $L \times L$ cuadrado. Dado que las soluciones en el toro son un subconjunto de las soluciones en el cuadrado, la pregunta es: ¿existen soluciones en el cuadrado que coincidan en los límites?

En este cuadrado, podemos definir $V = U - \mathbb{x} \cdot \mathbb{q}$ , y tenemos una ecuación ordinaria de advección-difusión. Sabemos que existen soluciones de la forma $\alpha e^{-V(\mathbb{x})}$ . También sabemos que $U$ es periódica, por lo que $V$ sólo puede ser periódico si $\mathbb{q} = \mathbb{0}$ . Sin embargo $e^{-V}$ todavía podría ser periódico si $\mathbb{q}$ es imaginario. Específicamente, tenemos soluciones periódicas para $\mathbb{q} = \frac{2\pi i}{L}\mathbb{n}, \mathbb{n} \in \mathbb{Z}^2$ .

Por otro $\mathbb{q}$ , soluciones proporcionales a $e^{-V(\mathbb{x})}$ no puede extenderse a soluciones en todo el toro. La pregunta restante: ¿Son tales soluciones todo el espacio de soluciones?

Ahora, Matthew Kvalheim apunta a Zeeman, 1988 . El teorema 3 dice

Dejar $U$ ser un campo vectorial en una variedad compacta $X$ sin límite, y dejar $\epsilon$ > 0. Entonces la ecuación de Fokker-Planck para $U$ con $\epsilon$ -la difusión tiene un estado estacionario único, y todas las soluciones tienden a ese estado estacionario.

El toro es una variedad compacta sin límite, Zeeman's $U$ es nuestro $-\nabla V$ , y tenemos $\epsilon = 1$ , entonces el teorema nos dice una solución $\rho$ debe existir y es único (hasta un escalar general). Desafortunadamente, esta prueba no es constructiva.

En una dimensión, la variación de parámetros da la solución.

ρ = C_{1} {mi}^{- V} (C_{2} + \int_{0}^{X} {mi}^{V})

$\rho = C_1 e^{-V}\left(C_2 + \int_0^x e^V\right)$ y el requisito

ρ (0) = ρ (L)

$\rho(0) = \rho(L)$ correcciones

C_{2}

$C_2$ . Podemos tratar de extender esto a dos dimensiones de la siguiente manera: Supongamos

ρ

$\rho$ es de la forma

α (x) e^{- V}

$\alpha(x)e^{-V}$ . Entonces la ecuación se convierte en

\nabla \cdot [- \nabla V α (X) {mi}^{- V} - \nabla (α (X) {mi}^{- V})] = 0

$\nabla \cdot [-\nabla V \alpha(x)e^{-V} - \nabla (\alpha(x) e^{-V})] = 0$ que simplifica a

\nabla \cdot (\nabla α (X) {mi}^{- V}) = 0

$\nabla \cdot (\nabla\alpha(x) e^{-V}) = 0$ Las soluciones son

\nabla α (X) {mi}^{- V} = \nabla \times ψ

$\nabla\alpha(x) e^{-V} = \nabla \times \mathbf{\psi}$ para

ψ = e_{z}

$\mathbf{\psi} = \mathbf{e}_z$ y

g

$g$ alguna función escalar. Entonces

\nabla α (X) = {mi}^{V} (\nabla \times ψ)

$\nabla\alpha(x) = e^V(\nabla \times \mathbf{\psi})$ Si

\nabla \times ({mi}^{V} (\nabla \times ψ)) = 0

$\nabla \times (e^V(\nabla \times \mathbf{\psi})) = 0$ entonces esto tiene solucion

α (X, y) = C + (\int_{0}^{X} - {mi}^{V} {gramo}_{y} d X) + (\int_{0}^{y} {mi}^{V} {gramo}_{X} d y)

$\alpha(x,y) = C + \left(\int_0^x -e^V g_y dx\right) + \left(\int_0^y e^V g_x dy\right)$ El requisito de condiciones de contorno periódicas selecciona algunos

g

$g$ ,

C

$C$ hasta una constante global. Nosotros necesitamos

α (X, 0) = α (X, L) {mi}^{- L q_{y}}

$\alpha(x,0) = \alpha(x,L)e^{-Lq_y}$ o

C + (\int_{0}^{X} - {mi}^{V} {gramo}_{y} d X) = C {mi}^{- L q_{y}} + (\int_{0}^{X} - {mi}^{V} {gramo}_{y} d X) {mi}^{- L q_{y}} + (\int_{0}^{L} {mi}^{V} {gramo}_{X} d y) {mi}^{- L q_{y}}

$C + \left(\int_0^x -e^V g_y dx\right) = Ce^{-Lq_y} + \left(\int_0^x -e^V g_y dx\right)e^{-Lq_y} + \left(\int_0^L e^V g_x dy\right)e^{-Lq_y}$ En

x = 0

$x = 0$ esto se simplifica a

C = \frac{1}{{mi}^{L q_{y}} - 1} \int_{0}^{L} {mi}^{V} {gramo}_{X} (0, y) d y

$C = \frac{1}{e^{Lq_y} - 1}\int_0^L e^V g_x(0,y) dy$ Queda por encontrar

g

$g$ .

No estoy seguro de que haya una buena expresión para la solución en general. Algunos pensamientos varios:

Cuando $U = 0$ , $\rho = C$ es una solución, que corresponde a $\alpha = e^V, g = xq_y-yq_x$ . Esto muestra que $g$ puede definirse solo en el cuadrado, no en el toro.
Cuando $\nabla U \gg q$ o $q \gg \nabla U$ , podemos comenzar con la solución conocida cercana y expandir la serie.

$\psi = \psi_z \mathbb{e}_z$ , y debido a que este es un problema 2D $\frac{\partial}{\partial z} = 0$ .
Creo que tu conclusión $\alpha =$ constante implicaría que no hay soluciones en el toro ya que $V$ no es periódico. Pero esto contradice el hecho de que esta EDP siempre tiene soluciones en el toro (ver, por ejemplo, el Teorema 3 de "Estabilidad de Sistemas Dinámicos", Zeeman, 1988). Hasta ahora, creo que detecto un error en su razonamiento: en $\mathbb{R}^2$ no creo que sea verdad eso $\nabla \cdot \mathbf{J} = 0$ $\implies$ eso $\mathbf{J}$ es el rizo de algo. Más bien, como escribió Quillo, implica $\mathbf{J} = R \nabla g$ para algunos $g$ . Por lo tanto, creo que deberías tener $\nabla \alpha e^{-V} = R \nabla g$ .
Espera, ¿no son equivalentes? $R \nabla gramo = (- {gramo}_{y}, {gramo}_{X})$ $R\nabla g = (-g_y, g_x)$ mientras $\nabla \times (gramo {mi}_{z}) = (- {gramo}_{y}, {gramo}_{X}, 0)$ $\nabla \times (g \mathbb{e}_z) = (-g_y, g_x, 0)$ (dónde $g$ es una función escalar y los subíndices denotan derivadas parciales)
Con respecto a Zeeman, sin embargo, estoy de acuerdo en que esto parece contradecir. Ahora mismo estoy pensando en el $U = 0$ caso - no debería $\rho = C$ entonces ser una solución?
Encontré el error, había perdido un $\nabla \times$ en la penúltima línea.
Oh, ahora veo que tienes razón en que la rotación/rizo son equivalentes. Gracias por señalar esto. Sí, creo que tienes razón en eso. $\rho = C$ es una solución en el $U = 0$ caso, y por el Teorema 3 de Zeeman, esta es la solución única hasta un multiplicador constante como dices.

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