Acerca de las constantes de acoplamiento físicas y medibles, después de la renormalización

Sí, la interpretación de OP es correcta. Llame a la constante de acoplamiento desnudo$\lambda_0$, el acoplamiento renormalizado en el punto de renormalización$\lambda_R = \mathcal{M}(Q^2)$. De hecho, la elección del punto de renormalización es arbitraria, por lo que podríamos definir de manera equivalente$\lambda'_R$en$Q'$, y esto da lugar a métodos de grupo de renormalización, sin embargo, es necesario elegir uno de esos$Q$y quédese con él para futuros cálculos teóricos.$\lambda_R$es entonces, en principio, calculable a partir de una cantidad observable, ya que la relación$\lambda_R = \mathcal{M}(Q^2)$se define para cumplir con todos los órdenes de la teoría de la perturbación, pero implicará una suma de potencias formalmente infinitas de$\lambda_0$(esto está bien, por supuesto, ya que los parámetros básicos no son más que no físicos en la teoría de la interacción). Como tal, podemos usar el valor de$\lambda_R$para hacer más predicciones sobre observables medidos a escala de energía$Q$.

Sin embargo, el acoplamiento de interacción$\tilde{\lambda}$en una escala de energía diferente$\tilde{Q}$, por lo general variará de$\lambda_R$a través de una relación no trivial$\tilde{\lambda}(\tilde{Q}^2) = f(\lambda_R, m)$tal que$\tilde{\lambda}$y$\lambda$estar de acuerdo en$Q$- este es el acoplamiento efectivo o acoplamiento continuo , que se puede utilizar para calcular observables en cualquier escala de energía.

En pocas palabras, el procedimiento es: medir un elemento de matriz observable de un proceso físico en una escala de energía$\rightarrow$definir el acoplamiento renormalizado en esa escala de energía$\rightarrow$calcular el acoplamiento a una escala de energía diferente usando la función beta$^\dagger$ $\rightarrow$hacer predicciones sobre observables en esta nueva escala de energía.

Esto implica, por ejemplo, que la carga del electrón depende de la energía (el valor que se cita con frecuencia suele ser de$Q^2 = 0$), y que las teorías débilmente acopladas a bajas energías pueden volverse fuertemente acopladas a altas energías (p. ej., electrodinámica cuántica) y viceversa (p. ej., cromodinámica cuántica); esta dependencia, de nuevo, se puede discernir a partir de la función beta.

$^\dagger$La función beta describe la dependencia del acoplamiento en la escala de energía$\mu$, definido por

(Esto es convencional, ver por ejemplo la ecuación de Callan-Symanzik ). Como se mencionó anteriormente, la física no debería depender de la elección de la escala o esquema de renormalización, por lo que la función beta solo depende de$\mu$a través de$\lambda$.

Este problema también me confundió durante bastante tiempo y presento ahora mi comprensión actual. Todavía no estoy muy seguro de si mi comprensión es completamente correcta y estoy muy agradecido por las correcciones. Me refiero como ejemplo a la constante de acoplamiento QED. Algunos puntos

• El parámetro en el Lagrangiano desnudo$e_0$es formalmente infinito, es decir, diverge en el límite donde se quita el regulador, por ejemplo$\Lambda \rightarrow \infty$para corte o$\epsilon \rightarrow 0$para tenue registro Pero esto no es un problema, ya que$e_0$no es medible! Tenga en cuenta que la teoría debe verse como definida con el regulador y solo los observables, como las secciones transversales, deben ser finitos en el límite donde quita el regulador.

• En la teoría de la perturbación renormalizada, se redefinen los parámetros de la teoría, p.$e_0 = Z_e e_R$, donde todo el comportamiento singular (al quitar el regulador) se absorbe en estos$Z$-factores, tales que cantidades renormalizadas, tales como$e_R$son finitos. Por supuesto, este procedimiento no es único, en otras palabras, hay muchos esquemas de renormalización diferentes que eliminan las divergencias pero le brindan diferentes$e_R$. Sin embargo, tenga en cuenta que sabe que ciertas cantidades son independientes del esquema de renormalización, es decir, los observables como las secciones transversales. Esto es fácil de ver, ya que el Lagrangiano real es el mismo, acaba de hacer una redefinición de los parámetros. Sin embargo, tenga en cuenta que en orden finito en la teoría de perturbaciones, tales observables dependen de la escala, solo son independientes cuando se suman todos los órdenes. Para obtener una predicción, se debe elegir la escala tal que la convergencia de la serie sea lo mejor posible y esto generalmente se logra eligiendo la escala alrededor de la energía del proceso.

• Ahora el acoplamiento desnudo no es un observable, y$e_R$depende del esquema de renormalización. Sin embargo, por supuesto, podemos medir el acoplamiento electromagnético en experimentos y, de hecho, se puede definir un esquema de renormalización en el que los parámetros renormalizados, como la masa del electrón$m_R$y acoplamiento$e_R$corresponden a los valores físicos reales. Este esquema se denomina esquema de renormalización en el shell . Como ejemplo, considere la función de vértice QED completa

  $$-ie_0 \Gamma(p,p') = -ie_0 \left[ \gamma^{\mu} \Gamma_1(q^2) + ... \right],$$ dónde$q^2 = (p'-p)^2$es la transferencia de cantidad de movimiento, o la escala. El factor$\Gamma_1(q^2)$es UV divergente. En un esquema on-shell definimos$Z_e = [\Gamma_1(q_0^2)]^{-1}$en alguna escala de referencia$q_0^2$. Esto elimina la divergencia UV en$\Gamma_1$pero aún mantenemos una dependencia de$q_0^2$, es decir$e_0 = [Z_1(q_0^2)]^{-1} e_R(q_0^2)$.

• Ahora les digo que en este esquema de renormalización en el shell, el acoplamiento renormalizado es el acoplamiento real real. Pero$e_R(q_0^2)$todavía depende de$q_0^2$. ¡Pero en realidad debería ser así! El acoplamiento electromagnético depende en realidad de la escala de momento del proceso a partir del cual se mide. En particular, el resultado familiar

  $$\alpha(0) = \frac{e_R(0)^2}{4\pi} \approx \frac{1}{137}$$ es el acoplamiento medido en un proceso de baja energía, o de manera equivalente en un entorno no relativista. En cambio, a la escala de la$Z$-masa del bosón$\sim 90 GeV$uno mide $$\alpha(90~GeV) \approx \frac{1}{127}.$$ Esta dependencia se explica intuitivamente por el apantallamiento de pares de cargas partícula-antipartícula que se crean a partir del vacío. Entonces, para ser precisos, la afirmación "el acoplamiento electromagnético es un observable" es técnicamente incorrecta. Más correctamente, se podría decir que "el acoplamiento electromagnético en una determinada escala de energía es un observable".

• Para la masa es un poco diferente. En el esquema on-shell definimos$m_R = m_{\text{pole}}$, dónde$m_{\text{pole}}$es la ubicación del polo del propagador. Esta cantidad es independiente de la energía del proceso y se puede identificar con la masa en reposo del electrón en QED. A diferencia del acoplamiento, la masa en reposo no depende de la energía del proceso en el que se mide.

• Si no está utilizando un esquema en el caparazón, como la resta mínima, uno no puede identificar los parámetros en el Lagrangiano con las cantidades físicas reales. Una vez más, el acoplamiento depende de la escala y ahora también la masa depende de la escala. La resta mínima a veces es mejor ya que uno tiene un mejor control sobre la convergencia de la serie perturbativa. Además, en QCD, los propagadores completos de quarks no tienen polos en la "masa física de quarks" (lo que sea que eso signifique), ya que en el mundo real no existen los quarks libres. Entonces, el significado físico del esquema en el caparazón se pierde en QCD y además de ser poco práctico.

• Realmente recomiendo https://arxiv.org/abs/1901.06573 . Proporciona una gran visión general sobre el tema.