Acción de Polyakov: métrica inducida por diferencia y métrica dinámica

Question

Acción de Polyakov: métrica inducida por diferencia y métrica dinámica

Funzies

La acción de Polyakov está dada por:

S_{pag} = - \frac{T}{2} \int d^{2} σ \sqrt{- gramo} {gramo}^{α β} \partial_{α} X^{m} \partial_{β} X^{v} η_{m v} = - \frac{T}{2} \int d^{2} σ \sqrt{- gramo} {gramo}^{α β} γ_{α β},

$S_p ~=~ -\frac{T}{2}\int d^2\sigma \sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}X^{\mu}\partial_{\beta}X^{\nu}\eta_{\mu\nu} ~=~ -\frac{T}{2}\int d^2\sigma \sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\gamma_{\alpha\beta},$ dónde

γ_{α β}

$\gamma_{\alpha\beta}$ se llama la métrica inducida y

g_{α β}

$g_{\alpha\beta}$ la métrica dinámica en la hoja mundial. Tengo dificultades para entender las diferencias entre estas dos métricas. Sé que este último se introduce para poder quitar la raíz cuadrada en la acción Nambu-Goto, pero no sé qué significa. El espacio en el que se propaga la cadena tiene solo la métrica de Minkowski

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ , Si no me equivoco. Además, creo que la métrica inducida se obtiene exigiendo

$ds^2$ (espacio entero) = $\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ = $ds^2$ (hoja del mundo) = $\gamma_{\alpha\beta}d\sigma^{\alpha}d\sigma^{\beta}$

¿Es esto correcto? Estoy realmente confundido por todas estas métricas diferentes.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/17349/2451 , physics.stackexchange.com/q/77038/2451

Respuestas (3)

Acción de Polyakov: métrica inducida por diferencia y métrica dinámica

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/17349/2451 , physics.stackexchange.com/q/77038/2451

joshfísica · Answer 1

Hay dos variedades que están involucradas en la propagación de cadenas.

El espacio-tiempo en el que se propaga la cadena.
La hoja de mundo de la cadena en sí.

Los campos $X^\mu$ son coordenadas de incrustación de la hoja del mundo en la variedad de espacio-tiempo. Esto significa que para cada punto $(\sigma^1, \sigma^1)$ en la hoja del mundo, $X^\mu(\sigma^1, \sigma^2)$ da las coordenadas de ese punto en la variedad de espacio-tiempo.

En el caso que está considerando, el espacio-tiempo se toma como Minkowski, por lo que la métrica es $\eta_{\mu\nu}$ . Ahora podríamos preguntar

"Dado que la hoja del mundo es una subvariedad incrustada bidimensional del espacio de Minkowski, ¿hay alguna forma de que esta variedad herede su métrica de la métrica del espacio-tiempo ambiental?"

Esta pregunta es análoga a

"Dado que la esfera $S^2$ es una subvariedad incrustada bidimensional del espacio euclidiano $\mathbb R^3$ , hay algún sentido natural en el que hereda su métrica de $\mathbb R^3$ ?

La respuesta a ambas preguntas es sí, y la métrica en la subvariedad que hace esto es precisamente la métrica inducida. La fórmula expresa la métrica inducida para una subvariedad bidimensional de alguna variedad ambiental con métrica $g_{\mu\nu}$ (no necesariamente plano) en términos de coordenadas de incrustación es

γ_{a b} (σ) = {gramo}_{m v} (X (σ)) \partial_{a} X^{m} (σ) \partial_{b} X^{v} (σ), σ = (σ^{2}, σ^{2})

$\gamma_{ab}(\sigma) = g_{\mu\nu}(X(\sigma))\partial_aX^\mu(\sigma)\partial_b X^\nu(\sigma), \qquad \sigma = (\sigma^2, \sigma^2)$ Tiene razón acerca de la derivación de la métrica inducida, se trata de exigir que la distancia medida entre los puntos en la subvariedad incrustada se calcule para que sea el mismo número, ya sea que use la métrica ambiental o la métrica inducida. Para ver que la expresión anterior para la métrica inducida hace esto, simplemente tenga en cuenta que la distancia infinitesimal entre dos puntos cualquiera en la subvariedad incrustada se puede escribir en términos de la métrica ambiental y las coordenadas incrustadas como

\begin{aligned} {gramo}_{m v} (X (σ)) d (X^{m} (σ)) d (X^{v} (σ)) & = {gramo}_{m v} (X (σ)) \partial_{a} X^{m} (σ) \partial_{b} X^{v} (σ) d σ^{a} d σ^{b} \\ = γ_{a b} (σ) d σ^{a} d σ^{b} \end{aligned}

$\begin{align} g_{\mu\nu}(X(\sigma))d(X^\mu(\sigma))d(X^\nu(\sigma)) &= g_{\mu\nu}(X(\sigma))\partial_a X^\mu(\sigma)\partial_bX^\nu(\sigma)d\sigma^ad\sigma^b \\ &= \gamma_{a b}(\sigma)d\sigma^ad\sigma^b \end{align}$ Para obtener algo de intuición para todo esto, recuerde esa expresión para incrustar coordenadas de

S^{2}

$S^2$ en

R^{3}

$\mathbb R^3$ es

\begin{aligned} X (θ, ϕ) & = pecado θ porque ϕ \\ Y (θ, ϕ) & = pecado θ pecado ϕ \\ Z (θ, ϕ) & = porque θ \end{aligned}

$\begin{align} X(\theta, \phi) &= \sin\theta\cos\phi\\ Y(\theta, \phi) &= \sin\theta\sin\phi\\ Z(\theta, \phi) &= \cos\theta \end{align}$ y al usar estas incrustaciones, debería poder mostrar que la métrica en la esfera es simplemente

γ_{a b} (θ, ϕ) = d i a gramo (1, {pecado}^{2} θ)

$\gamma_{ab}(\theta, \phi) = \mathrm{diag}(1, \sin^2\theta)$

¡Déjame saber si eso no está claro o si necesitas más detalles!

Gracias por esta minuciosa explicación, la métrica inducida ahora me queda totalmente clara. ¿Podría tal vez elaborar un poco más sobre la métrica dinámica? $g_{\alpha\beta}$ , que también se define en la hoja de mundo de cadenas?
Hmm, bueno, ¿qué tipo de elaboración estás buscando? Es cierto que la métrica dinámica se define en la hoja de mundo ya que se define en todo el espacio ambiental...
Bueno, es una métrica dinámica, que tiene una ecuación de movimiento que se puede calcular variando la acción. Pero una métrica es realmente una forma de medir distancias en el espacio-tiempo, entonces, ¿cómo puede ser dinámica y tener diferentes valores?
@joshphysics: ¿Son funcionales la métrica objetivo de una variedad curva y sus métricas inducidas? ¿Es un espacio de mapas incrustados una variedad diferenciable de dimensión finita? Una categoría de variedades suaves no es una categoría cerrada cartesiana ( en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_closed_category ). Por lo tanto, un espacio objetivo de la teoría de cuerdas tiene que ser el llamado espacio suave generalizado con estructura de Riemann. Véase también physicsforums.com/threads/… .

leonelbrit · Answer 2

Me gustaría agregar que la imagen geométrica y la relación entre las acciones de Nambu-Goto y Polyakov son solo sugerencias y heurísticas. Específicamente, las amplitudes de dispersión de cuerdas se calculan en un espacio lorentziano, pero las hojas del mundo son euclidianas. Una forma de verlo es que los cambios de topología no respetan la causalidad, por lo que las hojas de mundo bifurcadas son problemáticas para una hoja de mundo euclidiana. Sería genial si un teórico de cuerdas pudiera dar más detalles.

usuario62602 · Answer 3

Así es, existe la siguiente ecuación:

X^{m} = Z^{m} (σ)) (d X^{m} = \partial_{a} Z^{m} (σ) d σ^{a})

$X^{\mu}=Z^{\mu}(\sigma)) (dX^{\mu}=\partial_{a}Z^{\mu}(\sigma)d\sigma^{a})$

para una superficie 2d incrustada en, digamos, un espacio objetivo plano de dimensión finita dentro de la acción Polyakov y Nambu-Goto. La principal/única "razón" por la que las personas (en su mayoría teóricos de QFT a quienes les gustaría llamarse a sí mismos y ser llamados por otros como "teóricos de cuerdas") usan la acción de Polyakov (en su mayoría para cálculos vacíos) es el hecho de que tiene la forma cuadrática ( y qué) y, por lo tanto, tienen una gran esperanza de que sea mucho más fácil que la acción de Nambu-Goto para ser "cuantificado" (sea lo que sea que esa palabra signifique para usted porque "podrían ver" las coordenadas Z^{\mu de la cadena antes mencionadas }(\sigma) como "campos escalares" (las llamadas "coordenadas de cadena BOSONICA") sobre una superficie 2d con coordenadas \sigma^{a}).

Si la mecánica cuántica (de partículas) es una teoría cuántica de 2 niveles:

http://www.springer.com/philosophy/book/978-0-7923-3565-8

es decir, 1d QFT, entonces la cinemática cuántica de (super) cuerdas tiene que ser una teoría cuántica de 3 niveles:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf

que no solo podría ser QFT 2d (super) conforme (tiene que ser mucho más rico que eso). Dicho sea de paso, "podría demostrarse" que la métrica inducida y la métrica mundial antes mencionadas después del "procedimiento de cuantificación estándar" están relacionadas "de la misma manera" que en el caso clásico (no cuántico) solamente si el espacio plano de destino es de 26 dimensiones.

Es por eso que:

Albert Einstein: "No podemos resolver problemas usando el mismo tipo de pensamiento que usamos cuando los creamos".

queridos "lionelbrits", un teórico de cuerdas no dio más detalles sobre lo mencionado anteriormente.

Por lo tanto, las acciones mencionadas anteriormente (Polyakov y Nambu-Goto) no podrían ser un punto de partida para cuerdas cuánticas de ningún tipo, pero depende de ustedes, gays, hacer algo al respecto en los intentos actuales de matematización de las leyes fundamentales de la naturaleza.

Acción de Polyakov: métrica inducida por diferencia y métrica dinámica

Funzies

qmecanico

Respuestas (3)

joshfísica

Funzies

joshfísica

Funzies

usuario62480

leonelbrit

usuario62602

acción de poliakov

Una pregunta sobre la variación de la métrica bajo Weyl y las transformaciones de coordenadas

¿Es la métrica del espacio objetivo un campo dinámico en la acción de Polyakov?

Curvatura geodésica y transformaciones de Weyl

Área en espacio-tiempo minkowskiano

Difeomorfismo y transformaciones de Weyl en la hoja de mundo 2D de la teoría de cuerdas y la existencia de calibre conforme

Problemas topológicos con la métrica lorentziana en worldsheet

Ecuaciones de movimiento para la acción con formas diferenciales/estrella de Hodge

¿Conversión de la acción Polyakov en la acción Nambo-Goto?

¿Por qué necesitamos una métrica para definir el gradiente?