Área en espacio-tiempo minkowskiano

La fórmula no es específica del espacio euclidiano. Si nos dan un espacio vectorial abstracto$V$con producto interior$\langle,\rangle$($V$es real), definimos el ángulo entre dos vectores como

$$\cos(\alpha)=\frac{\langle u,v\rangle}{||u||\cdot||v||} .$$ En particular, si $V=T_pM$, y $\langle,\rangle=g_p(,)$, lo mismo sigue siendo válido.

Dada una variedad pseudo-Riemanniana$(M,g)$, el elemento de volumen se da localmente como

$$dM=\sqrt{|\det g|}d^nx,$$ esto se puede verificar comprobando que $dM$es invariante en coordenadas (el determinante métrico se transforma de manera inversa a los diferenciales de coordenadas) y en un sistema de coordenadas localmente plano y orientado positivamente, se reduce a $d^nx$, que por supuesto es el elemento de volumen plano.

Ahora, si nos dan una superficie 2 en$M$, y está parametrizado por las coordenadas$(u,v)$, la métrica inducida en la superficie 2 viene dada por

$$(h_{ij})= \left(\begin{matrix} \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}^2 & \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}\cdot\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v} \\ \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}\cdot\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u} & \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}^2 \end{matrix}\right) ,$$ donde estan el cuadrado y los puntos $g$-productos internos. (En variedades por lo general escribimos los vectores de coordenadas como simplemente $\partial/\partial u$ya que el vector de posición $\mathbf{x}$no está bien definido pero lo que sea).

El elemento de volumen invariante (por ejemplo, área) en la superficie de 2 está dado por

$$\sqrt{|\det h|}dudv,$$ que, como puedes comprobar, es lo mismo que escribiste.

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Editar:

Sobre la fórmula del ángulo: Tienes razón. Estaba confundido cuando dijiste que la fórmula del ángulo se cumple solo en el espacio euclidiano, pensé que estabas dudando si también es cierto en el espacio curvo , por un momento me olvidé de los espacios "pseudo-euclidianos".

Por supuesto, en la geometría pseudo-euclidiana, puedes tener cosas, digamos, ángulos imaginarios, por lo que todo el shiznit no está realmente bien definido. Por otro lado, decimos que dos vectores son perpendiculares/ortogonales entre sí si su producto interno es nulo en todos los casos (incluso para un producto interno hermitiano en un espacio vectorial complejo). En particular, un vector nulo es ortogonal a sí mismo.

Mi punto principal fue, que es posible que no haya comunicado muy claramente, que no necesita la fórmula del ángulo .

Sobre la unicidad del elemento de volumen:

En primer lugar, comprobemos que si$(M,g)$es un$n$espacio pseudo-riemanniano dimensional, entonces$dM=\sqrt{|\det g|}d^nx$es invariante!

Sabemos por cálculo multilineal que la medida de integración$d^nx$se transforma durante el cambio de coordenadas$x^\mu\mapsto x^{\mu'}$como$d^nx=\left|\det\frac{\partial x}{\partial x'}\right|d^nx'$. Los componentes métricos cambian a medida que

$$g_{\mu\nu}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu}\frac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^\nu}g_{\mu'\nu'}.$$ Tomando el determinante de ambos lados da $$\det g=\left(\det\frac{\partial x'}{\partial x}\right)^2\det g',$$ tomando valores absolutos y una raíz cuadrada da $$\sqrt{|\det g|}=\left|\det\frac{\partial x'}{\partial x}\right|\sqrt{|\det g'|} .$$ De esto podemos ver que en el producto $\sqrt{|\det g|}d^nx$los dos jacobianos que ocurren durante el cambio de coordenadas precisamente se cancelan.

Ahora vamos a la singularidad real. En plano$n$espacio-tiempo dimensional, si$x^{\mu'}$son coordenadas pseudo-cartesianas, el elemento de volumen es$d^nx'$. Si cambiamos de$x^{\mu'}$a$x^\mu$, tenemos$d^nx'=|\det\frac{\partial x'}{\partial x}|d^nx$, pero aquí tenemos$\sqrt{|\det g|}=|\det\frac{\partial x'}{\partial x}|\sqrt{|\det\eta|}=|\det\frac{\partial x'}{\partial x}|$, entonces tenemos$d^nx'=\sqrt{|\det g|}d^nx$y desde$x$es un sistema de coordenadas arbitrario que se cumple para todos. Entonces, en el espacio-tiempo plano , esta es la forma única.

Obviamente, en el espacio-tiempo curvo, podríamos definir diferentes "elementos de volumen", que se reducen todos a esto en el espacio-tiempo plano. uno seria$(1+R)\sqrt{|\det g|}d^nx$, dónde$R$es el escalar de curvatura, pero se puede tomar$R$ser cualquier curvatura invariante. Queremos que el volumen sea positivo, sin embargo, y hay espaciotiempos para los cuales$R=-1$. En ese caso, el elemento de volumen sería idénticamente cero. Claramente no queremos eso.

Hay un requisito más fuerte que exigir que el elemento de volumen se reduzca a la forma habitual en un espacio-tiempo plano. Como probablemente sepa, en un espacio pseudo-riemanniano, puede configurar las llamadas "coordenadas normales de Riemann" sobre cualquier punto$p$. Estas también se denominan "coordenadas localmente planas", ya que en estas coordenadas en$p$,$g_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu}$y$\partial_\sigma g_{\mu\nu}(p)=0$. Podemos exigir que el elemento de volumen se reduzca al elemento de volumen minkowskiano en un sistema localmente plano en$p$. En este caso, podemos exigir que el elemento de volumen en$p$es$dM(p)=d^nx'$, donde el$x'$las coordenadas son coordenadas localmente planas. Entonces podemos seguir el mismo procedimiento que hicimos en el espacio-tiempo plano para obtener que en$p$, en un sistema de coordenadas arbitrario$x$, el elemento de volumen es$dM(p)=\sqrt{|\det g(p)|}d^nx$, pero desde$p$es arbitrario, esto vale para toda la variedad.

Se puede dar un argumento más convincente en términos de formas diferenciales, pero no estoy seguro si está familiarizado con eso.

Si consideramos lo anterior conocido, entonces podemos ver que si nos dan una superficie de 2$\Sigma$en un$n$-variedad pseudo-riemanniana dimensional$(M,g)$, y$h$es la métrica inducida en$\Sigma$, entonces la pareja$(\Sigma,h)$es una variedad pseudo-Riemanniana (a menos que$\Sigma$es una subvariedad nula, en cuyo caso, es una variedad riemanniana "degenerada"), por lo que el elemento de volumen (que en este caso es un elemento de área) está dado por$\sqrt{|\det h|}d^2\xi$, dónde$\xi^1 ,\xi^2$son las coordenadas de la superficie. si calculas$\det h$, esta expresión dará precisamente la fórmula con la que comenzaste. No hemos usado la fórmula del ángulo en absoluto.