¿Existen campos cerrados algebraicamente finitos?

No, no existen campos algebraicamente cerrados finitos. para suponer$K$es un campo finito; entonces el polinomio

Tenga en cuenta que para$K=\mathbb{F}_{p^n}$, el polinomio es

Pista $\rm\:F[x]\:$tiene infinitos números primos para cada campo$\rm\,F\,$-- imitando la prueba de Euclides para números enteros. En particular, si$\rm\,F\,$es algebraicamente cerrado, hay infinitos números primos no asociados$\rm\ x - a_i\:$por lo tanto hay infinitos elementos$\rm\:a_i\in F\:.\:$

Observación $\ $Esto explica la génesis del polinomio empleado en la respuesta de Zev.

Como han dicho otros, no puede haber campos cerrados algebraicamente finitos (y si los hubiera, la geometría algebraica sería un tema bastante diferente de lo que es ;-). De hecho, ni siquiera puede haber un campo finito$K$sobre el cual todos los polinomios cuadráticos tienen raíces, mediante el siguiente argumento simple de conteo.

Dejar$q=|K|$, entonces hay$q$grado mónico$1$polinomios$X-a$, y de manera similar$q^2$grado mónico$2$polinomios$X^2+c_1X+c_0$en$K[X]$. Por conmutatividad solo hay$\frac{q^2+q}2$productos distintos de dos grados$1$polinomios, lo que deja$q^2-\frac{q^2+q}2=\binom{q}2$Polinomios cuadráticos mónicos irreducibles. (Incluso sin utilizar la factorización única, se obtienen al menos tantos polinomios irreducibles mónicos).

De hecho, hay fórmulas en términos de$q$para el número de polinomios irreducibles (mónicos) sobre$K$de cualquier grado, obtenido por el principio de inclusión-exclusión .

Estas fórmulas muestran que, si el campo mitológico con$1$existiera , sería algebraicamente cerrado.

Agregado: Resulta que encontrar el número de polinomios irreducibles mónicos sobre$K$de un grado dado usando solo inclusión-exclusión (y nada sobre campos finitos) se vuelve bastante peludo. Más bien, uno puede usar la existencia de campo finito$K'$de orden$q^n$para encontrar la fórmula. todos los elementos de$K'$tiene un polinomio mínimo de grado$d$divisor$n$, ya que están contenidos en un subcampo de orden$q^d$, e inversamente todo$d$las raíces de tal polinomio irreducible son distintas y se encuentran en$K'$. Entonces sí$c_d(q)$cuenta los polinomios irreducibles de grado$d$encima$K$, uno tiene$\sum_{d|n}dc_d(q)=q^n$. A partir de esto, un argumento de inversión de Möbius (que es una forma de inclusión-exclusión) da

Como enfoque alternativo, supongamos que tenemos un campo$K$tal que$\overline{K}$, la clausura algebraica de$K$, es finito (y también supondremos que$\vert K \vert >1$). Está claro que$K$entonces debe ser finito, entonces$K=\mathbb{F}_p^n$por alguna prima$p$y algo$n\in \mathbb{N}$.

Sin embargo, por$i \vert j$, tenemos$\mathbb{F}_{p^i}$isomorfo a un subcampo de$\mathbb{F}_{p^j}$. De este modo,$\overline{K}=\overline{\mathbb{F}_{p^n}}=\bigcup\limits_{n\vert m} \mathbb{F}_{p^m}$, que es infinito.

Por lo tanto, el cierre algebraico de cualquier campo (no trivial) es infinito.