Una pregunta sobre la extensión de campo finito de un campo finito

Question

Una pregunta sobre la extensión de campo finito de un campo finito

Matemáticas
campos finitos
teoría de galois
álgebra abstracta

múltiple

Dejar $K$ ser un campo de extensión finito de un campo finito $F$ . Demuestra que hay un elemento $a\in K$ calle $K = F(a)$ .

Mi intento:

$K$ es un campo finito y $char(K) = char(F) := p$ . Sé que para un primo dado $p$ y $n\in N$ , existe un único campo finito hasta isomorfismo de orden $p^n$ .

1) Pero, ¿cómo puedo demostrar que $K \simeq GF(p^n)$ dónde $p = char(K)$ ?

Una vez que tenga eso, $K\setminus \{0\}$ es un grupo cíclico bajo multiplicación y por lo tanto $\exists a\in K$ , calle $K\setminus \{0\} = <a>\subset F(a)$ . De este modo $K\subset F(a)$ .

2) Además, ¿cómo puedo demostrar que $F(a)\subset K$ de modo que $F(a) = K$ ? $K$ es una extensión de campo finito de $F$ pero no puedo entender por qué eso implicaría $F(a)\subset K$ ??

reencuentros

F (a)

$F(a)$ es el campo más pequeño que contiene

F, a

$F,a$ , entonces

F (a) \subset K

$F(a) \subset K$ . Eso

a

$a$ genera

K^{\times}

$K^\times$ medio

K = F (a)

$K = F(a)$ . Eso

K

$K$ es el campo único (hasta el isomorfismo/cambio de nombre) con

p^{n} = | K |

$p^n = |K|$ elementos es porque

K

$K$ es el único campo divisorio de

x^{p^{n}} - x \in F_{p} [x]

$x^{p^n}-x \in \Bbb{F}_p[x]$ . Del mismo modo, que

K^{\times}

$K^\times$ es cíclico es porque para cada

d | p^{n} - 1

$d | p^n-1$ ,

x^{d} - 1

$x^d-1$ tiene como máximo

d

$d$ raíces en el campo

K

$K$ .

Respuestas (1)

Una pregunta sobre la extensión de campo finito de un campo finito

$F(a)$ es el campo más pequeño que contiene $F,a$ , entonces $F(a) \subset K$ . Eso $a$ genera $K^\times$ medio $K = F(a)$ . Eso $K$ es el campo único (hasta el isomorfismo/cambio de nombre) con $p^n = |K|$ elementos es porque $K$ es el único campo divisorio de $x^{p^n}-x \in \Bbb{F}_p[x]$ . Del mismo modo, que $K^\times$ es cíclico es porque para cada $d | p^n-1$ , $x^d-1$ tiene como máximo $d$ raíces en el campo $K$ .

Marca · Answer 1

Dejar $a$ ser un generador del grupo multiplicativo $K^\times$ . Los elementos $a,a^2,...,a^{|K|-1}$ son todos elementos diferentes en $F(a)$ y por lo tanto $|F(a)|\geq |K|-1$ . Por otro lado $F(a)\subseteq K$ y por lo tanto $|F(a)|\leq |K|$ . Desde la orden de $F(a)$ debe ser un poder de $p$ (y $|K|-1$ no es un poder de $p$ ) concluimos que $|F(a)|=|K|$ . Desde $F(a)\subseteq K$ y ambos campos son finitos esto implica $F(a)=K$ .

Gracias, algunas preguntas. Porque debe $|F(a)|$ ser un poder de $p$ ? Además, ¿por qué puede $|K| - 1$ no ser un poder de $p$ ?
El orden de cualquier campo finito es una potencia de un número primo. Dado que la característica de $F(a)$ es $p$ (que es el caso porque $F(a)$ es una extensión de $F$ que tiene característica $p$ ) sabemos que aquí el primo es $p$ . Y $|K|-1$ no es un poder de $p$ porque $|K|$ es. (ya que de nuevo, $|K|$ es el orden de un campo finito con característica $p$ )

Una pregunta sobre la extensión de campo finito de un campo finito

múltiple

reencuentros

Respuestas (1)

Marca

múltiple

Marca

Ultraproducto de la clausura algebraica de cuerpos finitos

Acción de Galois sobre polinomios absolutamente irreducibles

¿Existen campos cerrados algebraicamente finitos?

¿Por qué una extensión de raíz tiene un cierre de Galois?

Polinomio quíntico sobre racionales, con grupo de Galois de orden mayor a 242424, ¿no es resoluble por radicales?

Determinar si un polinomio es resoluble por radicales

Derivadas formales sobre campos finitos.

¿Cómo generalizar el resolvente de Dummit para la quíntica?

¿Cómo surgió la comprensión moderna de la teoría de Galois?

Prueba elemental de que no hay campo con 6 elementos