Regularización dimensional: ¿eliminar algo más que divergencias logarítmicas?

Puede verificar eso para$\alpha\leq 0$cuando la integral es UV-divergente, el resultado para$I(n,\alpha)$anotó, que es una función analítica, es decir, un resultado de la continuación analítica (y sí, ignorar los términos superficiales para todos los valores de los exponentes y las dimensiones es una forma de cancelar fácilmente los términos aparentemente divergentes pero moralmente desvanecidos, lo cual es suficiente para la continuación analítica) – es todavía perfectamente finito porque el polo desde$\Gamma(\alpha-n/2)$(que existe asumiendo que el argumento es un número entero no positivo) se cancela contra el polo en el denominador$\Gamma(\alpha)$.

Para$n/2=2$, los únicos valores de$\alpha$para los cuales el polo en el numerador existe y no se cancela son$\alpha=2$que es la divergencia logarítmica; y$\alpha=1$que es la divergencia cuadrática. Además, el resultado tipo polo en este$\alpha=1$El caso se puede atribuir a la parte de la integral de "divergencia logarítmica", mientras que la parte de la integral de "divergencia cuadrática", cuando la integral se divide correctamente, es igual a cero en dim reg. La regularización dimensional "aniquila" automáticamente las divergencias de orden superior, como la cuártica (donde la mezcla de la divergencia logarítmica ya es cero en su integral); aparece una divergencia cuártica en los diagramas de energía del vacío (constante cosmológica).

Incluso cuando las divergencias cuárticas (o las divergencias cuadráticas purificadas) se vuelven finitas por dim reg, sigue siendo cierto que la teoría es sensible a los parámetros de la teoría que usamos a altas energías, por lo que la eliminación de estas divergencias no significa que eliminamos los parámetros finitos que aún deben especificarse y cuyos valores no están dictados unívocamente por ningún principio si interpretamos nuestro QFT como efectivo solamente.

Tal vez al primer profesor no le guste el hecho de que dim reg aniquile por completo el término infinito para las divergencias de la ley de potencia de orden superior; esa es una situación que no llama una "regularización exitosa" porque en el límite físico, todavía quiere el resultado para parecer infinito. Pero no hay nada de malo si una regularización asigna un valor finito a una integral ingenuamente divergente. Y, de hecho, a dim reg le gusta asignar un resultado finito (o incluso evanescente) a muchos diagramas que son divergentes en otras regularizaciones. Por ejemplo, dim reg puede preservar automáticamente la simetría de calibre, lo que significa que cancela las infinitas correcciones a la masa del fotón.

Análogamente, la regularización de la función zeta utilizada en las CFT bidimensionales (y la teoría de cuerdas, entre otros lugares) conserva automáticamente la simetría conforme. La simetría conforme implica, entre otras cosas, que el único valor finito de la suma de enteros positivos que preserva la simetría es$1+2+3+\dots = -1/12$por lo tanto, sumas similares se vuelven finitas automáticamente y el valor es completamente inequívoco en la regularización de la función zeta.